Uma matriz quadrada A=(ai j)n times n é dita triangular superior se ai j=0, quando i>j. Dizemos que A é triangular inferior se ai j=0, quando i. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos ai i, isto é, i=j. (m) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 , então (A-B)^2=(B-A)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, matrizes com 2 linhas e 2 colunas. Queremos provar que, para duas matrizes quadradas e dessa ordem, o quadrado da diferença é igual ao quadrado da diferença invertida . Para isso, vamos usar propriedades básicas de matrizes e operações com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que subtrair duas matrizes é a mesma coisa que adicionar uma matriz negativa. Ou seja:
A - B = A + (-B)
E também sabemos que A - B = - (B - A) . Mas aí, se a gente der uma olhada bem, percebe que:
Explicação: Isso porque, ao inverter a ordem da subtração, o sinal da diferença muda.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de (A - B)^2 = (A - B)(A - B) = [ - (B - A) ] [ - (B - A) ] :
Explicação: Substituímos por de acordo com o que vimos no passo anterior.

Passo 4

Simplificando a expressão:
[ - (B - A) ] [ - (B - A) ] = (-1)(-1)(B - A)(B - A) = 1 cdot (B - A)^2 = (B - A)^2
Explicação: Multiplicando os dois sinais negativos, o resultado é positivo, então acabamos com .

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer matrizes quadradas e de ordem 2.

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