Uma matriz quadrada é dita triangular superior se , quando . Dizemos que é triangular inferior se , quando . Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos , isto é, . (m) Se e são matrizes quadradas de ordem 2 , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, matrizes com 2 linhas e 2 colunas. Queremos provar que, para duas matrizes quadradas e dessa ordem, o quadrado da diferença é igual ao quadrado da diferença invertida . Para isso, vamos usar propriedades básicas de matrizes e operações com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que subtrair duas matrizes é a mesma coisa que adicionar uma matriz negativa. Ou seja:
E também sabemos que . Mas aí, se a gente der uma olhada bem, percebe que:
Explicação: Isso porque, ao inverter a ordem da subtração, o sinal da diferença muda.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado de :
Explicação: Substituímos por de acordo com o que vimos no passo anterior.
Passo 4
Simplificando a expressão:
Explicação: Multiplicando os dois sinais negativos, o resultado é positivo, então acabamos com .
Resposta
Portanto, mostramos que para quaisquer matrizes quadradas e de ordem 2.