a) Determinar os valores de lambda in R tais que existe X=[lx y z] neq 0 que satisfaz A X=lambda X.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores de x y z para os quais existe um vetor não nulo que satisfaz a equação . Isso significa que precisamos encontrar os autovalores (ou valores próprios) da matriz . Para isso, vamos usar o conceito de determinante e resolver a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 2 - lambda & 2 & 2 0 & 2 - lambda & 0 0 & 1 & 3 - lambda para uma matriz 3x3 é:
Subtraindo de , temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 2 - lambda & 0 1 & 3 - lambda - 2 cdot det 0 & 0 0 & 3 - lambda + 2 cdot det 0 & 2 - lambda 0 & 1 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha: