Considere a matriz
A=[lll 2 & 2 & 2 0 & 2 & 0 0 & 1 & 3 ]
a) Determinar os valores de lambda in R tais que existe X=[lx y z] neq 0 que satisfaz A X=lambda X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores de x y z para os quais existe um vetor não nulo que satisfaz a equação . Isso significa que precisamos encontrar os autovalores (ou valores próprios) da matriz . Para isso, vamos usar o conceito de determinante e resolver a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 2 - lambda & 2 & 2 0 & 2 - lambda & 0 0 & 1 & 3 - lambda para uma matriz 3x3 é:
Subtraindo de , temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 2 - lambda & 0 1 & 3 - lambda - 2 cdot det 0 & 0 0 & 3 - lambda + 2 cdot det 0 & 2 - lambda 0 & 1 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:

Passo 4

Calculando cada determinante menor:
det 2 - lambda & 0 1 & 3 - lambda = (2 - lambda)(3 - lambda) - (0)(1) = (2 - lambda)(3 - lambda)
det 0 & 0 0 & 3 - lambda = (0)(3 - lambda) - (0)(0) = 0
det 0 & 2 - lambda 0 & 1 = (0)(1) - (2 - lambda)(0) = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) - 2 cdot 0 + 2 cdot 0 = (2 - lambda)^2 (3 - lambda)

Passo 6

Para encontrar os valores de (2 - lambda)^2 (3 - lambda) = 0 que satisfazem 2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2 (com mu, resolvemos:
3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
o) ( Se A, B e C são matrizes de ordem 2 times n, 4 times p e 2 times 5, respectivamente, tais que A B=C, conclui-se que n=4 e p=5.
Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (b) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A B=0, então B A=0.
Considere as matrizes
A=[cc 2 & 3 -5 & 9 ], B=[cc 4 & -5 3 & 1 ] e C==[cc 6 & 2 7 & -8 ]
Calcular A+B.
Determine os valores de lambda in R para que a matriz [ccclambda & 3 & 1 0 & lambda-1 & 0 -4 & 3 & lambda-2] seja inversível.