Determine os valores de lambda in R para que a matriz [ccclambda & 3 & 1 0 & lambda-1 & 0 -4 & 3 & lambda-2] seja inversível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz dada é inversível. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e determinantes. Para saber se uma matriz é inversível, a gente precisa calcular o determinante dela e ver quando esse determinante é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a matriz que a gente tem:
lambda & 3 & 1 0 & lambda - 1 & 0 -4 & 3 & lambda - 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus, o determinante ( det = lambda cdot (lambda - 1) cdot (lambda - 2) + 3 cdot 0 cdot (-4) + 1 cdot 0 cdot 3 - [1 cdot (lambda - 1) cdot (-4) + 3 cdot 0 cdot lambda + lambda cdot 0 cdot 3] ) da matriz é:

Passo 5

Vamos simplificar passo a passo:
Primeiro, calculemos os produtos principais:
lambda cdot (lambda - 1) cdot (lambda - 2) = lambda (lambda^2 - 3lambda + 2) = lambda^3 - 3lambda^2 + 2lambda
Os outros termos principais são zeros, então:
det = lambda^3 - 3lambda^2 + 2lambda

Passo 6

Agora, vamos calcular os termos que subtraímos:
1 cdot (lambda - 1) cdot (-4) = -4(lambda - 1) = -4lambda + 4
Os outros termos também são zeros, então:
det = (lambda^3 - 3lambda^2 + 2lambda) - (-4lambda + 4) = lambda^3 - 3lambda^2 + 2lambda + 4lambda - 4

Passo 7

Vamos juntar os termos semelhantes:
det = lambda^3 - 3lambda^2 + 6lambda - 4

Passo 8

Para a matriz ser inversível, o determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos resolver a equação:
lambda^3 - 3lambda^2 + 6lambda - 4 neq 0

Passo 9

Vamos encontrar as raízes da equação 1^3 - 3(1)^2 + 6(1) - 4 = 1 - 3 + 6 - 4 = 0 para saber para quais valores de o determinante é zero (e, portanto, a matriz não é inversível).
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 10

Dividindo o polinômio por lambda^3 - 3lambda^2 + 6lambda - 4 = (lambda - 1)(lambda^2 - 2lambda + 4) usando a divisão polinomial:

Passo 11

Agora, resolvemos lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 162 = 2 pm raiz-122 usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, não há soluções reais para essa parte.

Passo 12

Então, a única raiz real é . Isso significa que o determinante é zero somente quando . Portanto, a matriz é inversível para todos os valores de menos .

Resposta

A matriz é inversível para todo desde que .

Exercícios relacionados