Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (b) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A B=0, então B A=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para vermos se, para duas matrizes quadradas de ordem 2, e , o fato de (a matriz nula) implica que . Vamos precisar usar propriedades de matrizes e entender como multiplicação de matrizes funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isso significa que, mesmo que , pode não ser verdade. Então, só porque dá a matriz nula, não necessariamente também vai dar.

Passo 3

Para provar que a afirmação é falsa, vamos construir um exemplo específico de matrizes e de ordem 2 onde mas .

Passo 4

Vamos definir as matrizes da seguinte forma:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0
Agora, vamos multiplicar AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = (1)(0) + (0)(1) & (1)(0) + (0)(0) (0)(0) + (0)(1) & (0)(0) + (0)(0) = 0 & 0 0 & 0 = 0 por :
Então, de fato, .

Passo 5

Agora, vamos multiplicar BA = 0 & 0 1 & 0 1 & 0 0 & 0 = (0)(1) + (0)(0) & (0)(0) + (0)(0) (1)(1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(0) = 0 & 0 1 & 0 neq 0 por :
Vimos que não é a matriz nula.

Resposta

Falso. Por exemplo, se
A = 1 & 0 0 & 0 e B = 0 & 0 1 & 0 ,
então mas .

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