Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar o polinômio característico dela, além dos autovalores. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz e entender o que são autovalores e polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é um escalar (o autovalor que queremos) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calculando esse determinante, vamos obter um polinômio em termos de que, ao resolver, nos dá os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado assim:
Perceba que os termos com 0 desaparecem, facilitando a conta.
Passo 5
Calculando o determinante da matriz 2x2:
Passo 6
Voltando ao determinante da matriz 3x3:
Esse é o nosso polinômio característico.
Passo 7
Para encontrar os autovalores, basta resolver a equação :
Essa equação será igual a zero quando qualquer um dos fatores for zero:
=> (com multiplicidade 2)
=>
Resposta
O polinômio característico da matriz é e os autovalores são (com multiplicidade 2) e .