Considere a matriz
A=(lll 5 & 0 & 0 0 & 5 & 0 2 & 2 & 7 )
Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar o polinômio característico dela, além dos autovalores. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz e entender o que são autovalores e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é um escalar (o autovalor que queremos) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calculando esse determinante, vamos obter um polinômio em termos de que, ao resolver, nos dá os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz I = (ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) . A matriz identidade A - lambda I = (ccc 5 - lambda & 0 & 0 0 & 5 - lambda & 0 2 & 2 & 7 - lambda ) para uma matriz 3x3 é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (5 - lambda) cdot det(cc 5 - lambda & 0 2 & 7 - lambda ) - 0 + 0 . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado assim:
Perceba que os termos com 0 desaparecem, facilitando a conta.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz 2x2:
det(cc 5 - lambda & 0 2 & 7 - lambda ) = (5 - lambda)(7 - lambda) - (0 cdot 2) = (5 - lambda)(7 - lambda)

Passo 6

Voltando ao determinante da matriz 3x3:
det(A - lambda I) = (5 - lambda) cdot (5 - lambda)(7 - lambda) = (5 - lambda)^2 (7 - lambda)
Esse é o nosso polinômio característico.

Passo 7

Para encontrar os autovalores, basta resolver a equação (5 - lambda)^2 (7 - lambda) = 0 :
Essa equação será igual a zero quando qualquer um dos fatores for zero:
  1. => (com multiplicidade 2)
  2. =>

Resposta

O polinômio característico da matriz é e os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

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