Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz A.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar o polinômio característico dela, além dos autovalores. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz e entender o que são autovalores e polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio característico. Ele é dado por , onde é um escalar (o autovalor que queremos) e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calculando esse determinante, vamos obter um polinômio em termos de que, ao resolver, nos dá os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz I = (ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) . A matriz identidade A - lambda I = (ccc 5 - lambda & 0 & 0 0 & 5 - lambda & 0 2 & 2 & 7 - lambda ) para uma matriz 3x3 é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (5 - lambda) cdot det(cc 5 - lambda & 0 2 & 7 - lambda ) - 0 + 0 . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado assim:
Perceba que os termos com 0 desaparecem, facilitando a conta.