Seja
. Verifique se os conjuntos
abaixo são ou não subespaços de
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
e um conjunto
. Queremos verificar se
é ou não um subespaço de
.
Para isso, vamos usar os critérios de subespaço:
- O vetor zero está em
. - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada um desses critérios passo a passo.
Passo 2
Critério 1: O vetor zero está em
.
O vetor zero em
é
. Vamos ver se esse vetor pertence a
:
Aqui,
e
. Como
e
são números reais, o vetor zero pertence a
. Portanto, o primeiro critério é satisfeito.
Passo 3
Critério 2: Se
e
estão em
, então
também está em
.
Vamos considerar dois vetores
e
pertencentes a
.
Calculamos a soma desses vetores:
Como
e
são números reais, o vetor
também está em
. Portanto, o segundo critério é satisfeito.
Passo 4
Critério 3: Se
está em
e
é um escalar, então
também está em
.
Vamos considerar um vetor
em
e um escalar
.
Multiplicamos o vetor por
:
Como
e
são números reais, o vetor
também está em
. Portanto, o terceiro critério é satisfeito.
Resposta
Como todos os três critérios foram atendidos, concluímos que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Considere a matriz
Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz
.
Determine as coordenadas do vetor
em relação à base
Seja
. Verifique se os conjuntos
abaixo são ou não subespaços de
:
tal que
Qual é a transformação linear
tal que
e
?