Seja . Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial e um conjunto . Queremos verificar se é ou não um subespaço de .
Para isso, vamos usar os critérios de subespaço:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada um desses critérios passo a passo.

Passo 2

Critério 1: O vetor zero está em .
O vetor zero em é . Vamos ver se esse vetor pertence a :
Aqui, e . Como e são números reais, o vetor zero pertence a . Portanto, o primeiro critério é satisfeito.

Passo 3

Critério 2: Se e estão em , então também está em .
Vamos considerar dois vetores e pertencentes a .
Calculamos a soma desses vetores:
Como e são números reais, o vetor também está em . Portanto, o segundo critério é satisfeito.

Passo 4

Critério 3: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos considerar um vetor em e um escalar .
Multiplicamos o vetor por :
Como e são números reais, o vetor também está em . Portanto, o terceiro critério é satisfeito.

Resposta

Como todos os três critérios foram atendidos, concluímos que é um subespaço de .

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Seja . Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de : tal que
Qual é a transformação linear tal que e ?