Determine as coordenadas do vetor v=(6,3,9) em relação à base
B=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o vetor e queremos descobrir como ele se expressa na base . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base e combinação linear. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que relacione o vetor com os vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expressar c1 cdot (1,1,1) + c2 cdot (-1,1,0) + c3 cdot (1,0,-1) = (6, 3, 9) na base . Basicamente, queremos encontrar escalares tais que:
Essa é uma combinação linear dos vetores da base que nos dá o vetor .

Passo 3

Vamos escrever isso em termos de coordenadas para facilitar. Expandindo a equação acima, temos:
(c1 cdot 1) + (c2 cdot -1) + (c3 cdot 1) = 6 (coordenada x)
(c1 cdot 1) + (c2 cdot 1) + (c3 cdot 0) = 3 (coordenada y)
(c1 cdot 1) + (c2 cdot 0) + (c3 cdot -1) = 9 (coordenada z)
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 4

Vamos organizar esse sistema de equações:
c1 - c2 + c3 = 6 c1 + c2 = 3 c1 - c3 = 9
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Primeiro, da segunda equação, já temos que c1 = 3 - c2 . Podemos isolar :
Agora, substituímos nas outras equações.

Passo 6

Substituindo (3 - c2) - c2 + c3 = 6 3 - 2c2 + c3 = 6 -2c2 + c3 = 3 (Equação A) na primeira equação:
(3 - c2) - c3 = 9 3 - c2 - c3 = 9 - c2 - c3 = 6 (Equação B) çã
E na terceira equação:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações:
-2c2 + c3 = 3 (A) - c2 - c3 = 6 (B)
Podemos resolver esse sistema adicionando as duas equações para eliminar (-2c2 + c3) + (-c2 - c3) = 3 + 6 -3c2 = 9 c2 = -3 :

Passo 8

Com - (-3) - c3 = 6 3 - c3 = 6 - c3 = 3 c3 = -3 , vamos encontrar usando a Equação B:

Passo 9

Agora que temos c1 = 3 - c2 = 3 - (-3) = 6 e , voltamos à expressão de :

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

Exercícios relacionados