Determine as coordenadas do vetor em relação à base

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o vetor e queremos descobrir como ele se expressa na base . Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base e combinação linear. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que relacione o vetor com os vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expressar na base . Basicamente, queremos encontrar escalares tais que:
Essa é uma combinação linear dos vetores da base que nos dá o vetor .

Passo 3

Vamos escrever isso em termos de coordenadas para facilitar. Expandindo a equação acima, temos:
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 4

Vamos organizar esse sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Primeiro, da segunda equação, já temos que . Podemos isolar :
Agora, substituímos nas outras equações.

Passo 6

Substituindo na primeira equação:
çã
E na terceira equação:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações:
Podemos resolver esse sistema adicionando as duas equações para eliminar :

Passo 8

Com , vamos encontrar usando a Equação B:

Passo 9

Agora que temos e , voltamos à expressão de :

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

Exercícios relacionados

Sejam
e
subespaços vetoriais de .
Determine uma base para .
Sejam os vetores e em :
Para que valores de o vetor se escreve como combinação linear de e ?
Considere a matriz
Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz .
Seja . Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de :