subespaços vetoriais de .
Determine uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos começar! O problema nos dá dois subespaços vetoriais, e , dentro do espaço . A missão é descobrir uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços e depois identificar uma base que gere todo esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar em e em ao mesmo tempo. Um vetor está em se satisfaz a equação . Já está em se satisfaz as equações e . Nosso objetivo é encontrar todos os vetores que satisfazem todas essas condições simultaneamente.
Passo 3
Vamos colocar isso de forma mais clara: queremos encontrar todos os vetores que satisfazem o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vamos descobrir os vetores que pertencem a .
Passo 4
Começamos pela terceira equação: . Isso nos dá uma relação direta entre e . Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
Então, descobrimos que .
Passo 5
Agora que sabemos que , voltamos à segunda equação: . Isso nos diz que também. Com e conhecidos, e , podemos expressar qualquer vetor em como:
Passo 6
Podemos fatorar o para simplificar:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos escalares do vetor .
Passo 7
Para formar uma base, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço . Como todos os vetores são múltiplos de , basta esse único vetor para formar a base.