subespaços vetoriais de .
Determine uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos começar! O problema nos dá dois subespaços vetoriais, e , dentro do espaço . A missão é descobrir uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços e depois identificar uma base que gere todo esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar em e em ao mesmo tempo. Um vetor está em se satisfaz a equação . Já está em se satisfaz as equações e . Nosso objetivo é encontrar todos os vetores que satisfazem todas essas condições simultaneamente.
Passo 3
Vamos colocar isso de forma mais clara: queremos encontrar todos os vetores que satisfazem o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vamos descobrir os vetores que pertencem a U cap W.
Passo 4
Começamos pela terceira equação: y = 2z. Isso nos dá uma relação direta entre y e z. Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
y - 2z + t = 0 Rightarrow 2z - 2z + t = 0 Rightarrow t = 0
Então, descobrimos que t = 0.
Passo 5
Agora que sabemos que t = 0, voltamos à segunda equação: x = t. Isso nos diz que x = 0 também. Com x e t conhecidos, e y = 2z, podemos expressar qualquer vetor em U cap W como:
(x, y, z, t) = (0, 2z, z, 0)
Passo 6
Podemos fatorar o z para simplificar:
(x, y, z, t) = z cdot (0, 2, 1, 0)
Isso mostra que todos os vetores na interseção U cap W são múltiplos escalares do vetor (0, 2, 1, 0).
Passo 7
Para formar uma base, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço U cap W. Como todos os vetores são múltiplos de (0, 2, 1, 0), basta esse único vetor para formar a base.