Sejam
U=(x, y, z, t) in R^4 mid y-2 z+t=0
e
W=(x, y, z, t) in R^4 mid x=t, y=2 z
subespaços vetoriais de R^4.
Determine uma base para U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos começar! O problema nos dá dois subespaços vetoriais, U e W, dentro do espaço R^4. A missão é descobrir uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, U cap W. Para isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços e depois identificar uma base que gere todo esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar em U e em W ao mesmo tempo. Um vetor (x, y, z, t) está em U se satisfaz a equação y - 2z + t = 0. Já está em W se satisfaz as equações x = t e y = 2z. Nosso objetivo é encontrar todos os vetores que satisfazem todas essas condições simultaneamente.

Passo 3

Vamos colocar isso de forma mais clara: queremos encontrar todos os vetores que satisfazem o seguinte sistema de equações:
y - 2z + t = 0 x = t y = 2z
Resolvendo esse sistema, vamos descobrir os vetores que pertencem a U cap W.

Passo 4

Começamos pela terceira equação: y = 2z. Isso nos dá uma relação direta entre y e z. Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
y - 2z + t = 0 Rightarrow 2z - 2z + t = 0 Rightarrow t = 0
Então, descobrimos que t = 0.

Passo 5

Agora que sabemos que t = 0, voltamos à segunda equação: x = t. Isso nos diz que x = 0 também. Com x e t conhecidos, e y = 2z, podemos expressar qualquer vetor em U cap W como:
(x, y, z, t) = (0, 2z, z, 0)

Passo 6

Podemos fatorar o z para simplificar:
(x, y, z, t) = z cdot (0, 2, 1, 0)
Isso mostra que todos os vetores na interseção U cap W são múltiplos escalares do vetor (0, 2, 1, 0).

Passo 7

Para formar uma base, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço U cap W. Como todos os vetores são múltiplos de (0, 2, 1, 0), basta esse único vetor para formar a base.

Resposta

A base para U cap W é ,(0, 2, 1, 0,),.

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