Sejam
e
subespaços vetoriais de .
Determine uma base para .

Passo 1

Beleza, vamos começar! O problema nos dá dois subespaços vetoriais, e , dentro do espaço . A missão é descobrir uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços e depois identificar uma base que gere todo esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar em e em ao mesmo tempo. Um vetor está em se satisfaz a equação . Já está em se satisfaz as equações e . Nosso objetivo é encontrar todos os vetores que satisfazem todas essas condições simultaneamente.

Passo 3

Vamos colocar isso de forma mais clara: queremos encontrar todos os vetores que satisfazem o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vamos descobrir os vetores que pertencem a .

Passo 4

Começamos pela terceira equação: . Isso nos dá uma relação direta entre e . Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
Então, descobrimos que .

Passo 5

Agora que sabemos que , voltamos à segunda equação: . Isso nos diz que também. Com e conhecidos, e , podemos expressar qualquer vetor em como:

Passo 6

Podemos fatorar o para simplificar:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos escalares do vetor .

Passo 7

Para formar uma base, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço . Como todos os vetores são múltiplos de , basta esse único vetor para formar a base.

Resposta

A base para é .

Exercícios relacionados

Sejam os vetores e em :
Para que valores de o vetor se escreve como combinação linear de e ?
Determine os valores reais da constante de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis , e seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.
Determine as coordenadas do vetor em relação à base
Considere a matriz
Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz .