Seja
. Verifique se os conjuntos
abaixo são ou não subespaços de
:
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um conjunto é subespaço se ele:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos seguir esses três critérios para verificar se
é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Isso satisfaz a equação
, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores quaisquer em
:
Como ambos estão em
, sabemos que:
Vamos somar esses dois vetores:
Para verificar se
está em
, somamos suas coordenadas:
Como a soma das coordenadas é zero,
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer em
:
E um número real qualquer
. Vamos multiplicar
por
:
Agora, somamos as coordenadas de
:
Como a soma das coordenadas de
também é zero,
está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.