Seja V=R^3. Verifique se os conjuntos W abaixo são ou não subespaços de V : W2=(a, b, c) ; a, b, c in R tal que a+b+c=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um conjunto é subespaço se ele:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos seguir esses três critérios para verificar se é um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em a + b + c = 0 + 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Isso satisfaz a equação , então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores quaisquer em a1 + b1 + c1 = 0 e a2 + b2 + c2 = 0 :
u + v = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)
Como ambos estão em (a1 + a2) + (b1 + b2) + (c1 + c2) = (a1 + b1 + c1) + (a2 + b2 + c2) = 0 + 0 = 0 , sabemos que:
Vamos somar esses dois vetores:
Para verificar se está em , somamos suas coordenadas:
Como a soma das coordenadas é zero, também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se u = (a, b, c) é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer em ku = (ka, kb, kc) :
ka + kb + kc = k(a + b + c) = k cdot 0 = 0
E um número real qualquer . Vamos multiplicar por :
Agora, somamos as coordenadas de :
Como a soma das coordenadas de também é zero, está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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