Seja . Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de : tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um conjunto é subespaço se ele:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos seguir esses três critérios para verificar se é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Isso satisfaz a equação , então o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores quaisquer em :
Como ambos estão em , sabemos que:
Vamos somar esses dois vetores:
Para verificar se está em , somamos suas coordenadas:
Como a soma das coordenadas é zero, também está em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer em :
E um número real qualquer . Vamos multiplicar por :
Agora, somamos as coordenadas de :
Como a soma das coordenadas de também é zero, está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .