Determine, se possível, a matriz inversa de , usando o método de escalonamento. Faça passo a passo, indicando as operações elementares utilizadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz inversa de usando o método de escalonamento. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e inversas na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar aplicar operações elementares em linhas para transformar a matriz na matriz identidade e, simultaneamente, aplicar as mesmas operações em uma matriz identidade para obter a inversa de .
Passo 2
Primeiro, montamos uma matriz aumentada juntando com a matriz identidade . Isso nos dá:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada (originalmente ) na matriz identidade. Vamos começar eliminando o 1 da terceira linha, primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, queremos eliminar o -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
Ficando assim:
Passo 5
Vamos agora simplificar a terceira linha dividindo-a por 3, para que o elemento da terceira coluna seja 1:
Linha 3 = (1/3) * Linha 3
Obtemos:
Passo 6
Agora, eliminamos o 1 na segunda linha, terceira coluna. Para isso, subtraímos a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 3
Ficando:
Passo 7
Finalmente, eliminamos o 1 na primeira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da primeira linha: