Considere a matriz:
A=(lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 )
Determine, se possível, a matriz inversa de A, usando o método de escalonamento. Faça passo a passo, indicando as operações elementares utilizadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz inversa de usando o método de escalonamento. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e inversas na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar aplicar operações elementares em linhas para transformar a matriz na matriz identidade e, simultaneamente, aplicar as mesmas operações em uma matriz identidade para obter a inversa de .

Passo 2

Primeiro, montamos uma matriz aumentada juntando [ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 ] com a matriz identidade . Isso nos dá:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada (originalmente [ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 ] ) na matriz identidade. Vamos começar eliminando o 1 da terceira linha, primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, queremos eliminar o -1 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
Ficando assim:
[ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & 1 & 1 ]

Passo 5

Vamos agora simplificar a terceira linha dividindo-a por 3, para que o elemento da terceira coluna seja 1:
Linha 3 = (1/3) * Linha 3
Obtemos:
[ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -13 & 13 & 13 ]

Passo 6

Agora, eliminamos o 1 na segunda linha, terceira coluna. Para isso, subtraímos a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 3
Ficando:
[ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 13 & 23 & -13 0 & 0 & 1 & -13 & 13 & 13 ]

Passo 7

Finalmente, eliminamos o 1 na primeira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2
Resultado:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 23 & -23 & 13 0 & 1 & 0 & 13 & 23 & -13 0 & 0 & 1 & -13 & 13 & 13 ]

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = (ccc 23 & -23 & 13 13 & 23 & -13 -13 & 13 & 13 ) é:

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