Dados o pontos A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2). Calcule:
b) o maior ângulo do triângulo; A=90^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço tridimensional: , e . O que a gente precisa fazer aqui é descobrir qual é o maior ângulo do triângulo formado por esses pontos. Para isso, vamos usar um pouco de geometria no espaço e algumas fórmulas de distância e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos. Essas distâncias vão nos ajudar a identificar os lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e no espaço é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para calcular as distâncias AB = raiz(3 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - 1)^2 = raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 = 2 , AC = raiz(1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 approx 1,414 e BC = raiz(1 - 3)^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 approx 2,449 :
  • Distância :
  • Distância :
  • Distância :

Passo 4

Agora que temos as distâncias, podemos ver que o lado é o mais longo com aproximadamente unidades. Em um triângulo, o maior ângulo está sempre oposto ao maior lado. Então, o maior ângulo será o ângulo , porque está oposto ao lado .

Passo 5

Para confirmar que o ângulo AB^2 + AC^2 = BC^2 é de AB^2 + AC^2 = 2^2 + (raiz2)^2 = 4 + 2 = 6 , vamos usar o Teorema de Pitágoras. Se o triângulo for retângulo em BC^2 = (raiz6)^2 = 6 , então:
Vamos calcular:
Como , o triângulo é retângulo no ponto . Portanto, o ângulo é de .

Resposta

O maior ângulo do triângulo é .

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