Dados o pontos A(1,2,1), B(3,2,1) e C(1,1,2). Calcule:
a) os comprimentos dos lados do triângulo ABC ; 2, raiz2, raiz6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta três pontos no espaço: , e . O objetivo é calcular os comprimentos dos lados do triângulo formado por esses pontos, ou seja, , e . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço. Se temos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância entre eles é dada por:
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras estendido para três dimensões.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos AB = raiz(3 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - 1)^2 = raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 = 2 e . As coordenadas são e . Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos BC = raiz(1 - 3)^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 approx 2,45 e . As coordenadas são e . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a distância entre os pontos AC = raiz(1 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 approx 1,41 e . As coordenadas são e . Aplicando a fórmula:

Resposta

Os comprimentos dos lados do triângulo AB = 2, BC = raiz6, AC = raiz2 são:

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