Dado o vetor v=i+3 j, encontre um vetor, em R^2, unitário:
c) que faz um ângulo de 45^circ com v ;(2 raiz55, raiz55) ou (-raiz55, 2 raiz55)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor unitário em R^2 que faz um ângulo de 45^circ com o vetor dado v = i + 3j. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto escalar e trigonometria, especialmente a relação entre o ângulo formado por dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário é aquele que tem módulo igual a 1. Ou seja, se nosso vetor for u = (x, y), então raizx^2 + y^2 = 1.

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
v cdot u = |v| cdot |u| cdot cos(theta)
Onde:
  • v cdot u é o produto escalar dos vetores,
  • |v| e |u| são os módulos dos vetores,
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 4

Como sabemos que u é unitário, |u| = 1. Também podemos calcular o módulo de v:
|v| = raiz1^2 + 3^2 = raiz10
E cos(45^circ) = raiz22.
Substituindo na fórmula:
v cdot u = raiz10 cdot 1 cdot raiz22 = raiz202 = 2raiz52 = raiz5
Então, temos:
v cdot u = raiz5

Passo 5

Calculando o produto escalar:
v cdot u = (1)(x) + (3)(y) = x + 3y = raiz5
Agora, temos o sistema de equações:
x + 3y = raiz5 x^2 + y^2 = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar x e y.

Passo 6

Da primeira equação, podemos expressar x em função de y:
x = raiz5 - 3y
Substituindo na segunda equação:
(raiz5 - 3y)^2 + y^2 = 1
Expandindo:
5 - 6raiz5y + 9y^2 + y^2 = 1
Simplificando:
10y^2 - 6raiz5y + 4 = 0
Dividindo toda a equação por 2:
5y^2 - 3raiz5y + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de y e, consequentemente, de x.

Passo 7

Resolver a equação quadrática:
y = 3raiz5 pm raiz(3raiz5)^2 - 4 cdot 5 cdot 22 cdot 5 = 3raiz5 pm raiz45 - 4010 = 3raiz5 pm raiz510
Portanto, temos duas soluções para y:
y = 3raiz5 + raiz510 = 4raiz510 = 2raiz55
y = 3raiz5 - raiz510 = 2raiz510 = raiz55
Substituindo de volta em x = raiz5 - 3y:
Para y = 2raiz55:
x = raiz5 - 3 cdot 2raiz55 = raiz5 - 6raiz55 = 5raiz5 - 6raiz55 = -raiz55
Para y = raiz55:
x = raiz5 - 3 cdot raiz55 = raiz5 - 3raiz55 = 5raiz5 - 3raiz55 = 2raiz55

Resposta

Os vetores unitários que fazem um ângulo de 45^circ com v são (dfrac2 raiz55, dfracraiz55) e (-dfracraiz55, dfrac2 raiz55).

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