Dado o vetor
, encontre um vetor, em
, unitário:
c) que faz um ângulo de
com
ou
c) que faz um ângulo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor unitário em
que faz um ângulo de
com o vetor dado
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto escalar e trigonometria, especialmente a relação entre o ângulo formado por dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário é aquele que tem módulo igual a 1. Ou seja, se nosso vetor for
, então
.
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores, -
e são os módulos dos vetores, -
é o ângulo entre eles.
Passo 4
Como sabemos que
é unitário,
. Também podemos calcular o módulo de
:
E
.
Substituindo na fórmula:
Então, temos:
Passo 5
Calculando o produto escalar:
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 6
Da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de
e, consequentemente, de
.
Passo 7
Resolver a equação quadrática:
Portanto, temos duas soluções para
:
Substituindo de volta em
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os vetores unitários que fazem um ângulo de
com
são
e
.