Dado o vetor , encontre um vetor, em , unitário:
c) que faz um ângulo de com ou

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor unitário em que faz um ângulo de com o vetor dado . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto escalar e trigonometria, especialmente a relação entre o ângulo formado por dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário é aquele que tem módulo igual a 1. Ou seja, se nosso vetor for , então .

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores,
  • e são os módulos dos vetores,
  • é o ângulo entre eles.

Passo 4

Como sabemos que é unitário, . Também podemos calcular o módulo de :
E .
Substituindo na fórmula:
Então, temos:

Passo 5

Calculando o produto escalar:
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Da primeira equação, podemos expressar em função de :
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de e, consequentemente, de .

Passo 7

Resolver a equação quadrática:
Portanto, temos duas soluções para :
Substituindo de volta em :
Para :
Para :

Resposta

Os vetores unitários que fazem um ângulo de com são e .

Exercícios relacionados

Dados o pontos e . Calcule:
a) os comprimentos dos lados do triângulo
Dado o vetor , encontre um vetor, em , unitário:
d) que faz um ângulo de com .
Considere a matriz:
Determine, se possível, a matriz inversa de , usando o método de escalonamento. Faça passo a passo, indicando as operações elementares utilizadas.
Em relação as matrizes abaixo encontre os autovalores e autovetores em relação ao corpo, :