Dado o vetor , encontre um vetor, em , unitário:
c) que faz um ângulo de com ou
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor unitário em que faz um ângulo de com o vetor dado . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto escalar e trigonometria, especialmente a relação entre o ângulo formado por dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário é aquele que tem módulo igual a 1. Ou seja, se nosso vetor for , então .
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
é o produto escalar dos vetores,
e são os módulos dos vetores,
é o ângulo entre eles.
Passo 4
Como sabemos que é unitário, . Também podemos calcular o módulo de :
E .
Substituindo na fórmula:
Então, temos:
Passo 5
Calculando o produto escalar:
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 6
Da primeira equação, podemos expressar em função de :
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por 2:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de e, consequentemente, de .
Passo 7
Resolver a equação quadrática:
Portanto, temos duas soluções para :
Substituindo de volta em :
Para :
Para :
Resposta
Os vetores unitários que fazem um ângulo de com são e .