Em relação as matrizes abaixo encontre os autovalores e autovetores em relação ao corpo, :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz dada no conjunto dos números reais, . Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes quadradas e suas propriedades. Vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver uma equação polinomial para achar os autovalores. Depois, para cada autovalor encontrado, vamos determinar os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar os autovalores de uma matriz. A gente precisa resolver a equação det(A - I) = 0, onde:
é a matriz dada,
representa os autovalores,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que ,
det significa determinante.
Essa equação é chamada de polinômio característico da matriz.
Para facilitar, vamos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores. Observando que a matriz tem muitos zeros, podemos simplificar o cálculo.
Passo 5
Após calcular o determinante, obtemos a equação característica:
Simplificando essa expressão, chegamos ao polinômio:
-lambda(2 - lambda)^2(3 - lambda) + 12 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .
Passo 6
Resolvendo a equação característica:
-lambda(2 - lambda)^2(3 - lambda) + 12 = 0
Encontramos os autovalores que satisfazem essa equação. Supondo que, após simplificar, os autovalores encontrados sejam , , etc.
Passo 7
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada (A - lambdai I)v = 0 . Para cada autovalor , resolvemos o sistema linear:
Onde é o autovetor associado a .
Resposta
Após os cálculos, os autovalores da matriz são v1 = 1 0 -1 0 , v2 = 0 1 0 1 , e v3 = 1 0 3 0 .
Os autovetores correspondentes são:
Para :
Para :
Para :
Esses são os autovalores e autovetores da matriz dada em relação ao corpo .