Em relação as matrizes abaixo encontre os autovalores e autovetores em relação ao corpo, :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente precisa encontrar os **autovalores** e **autovetores** da matriz dada no conjunto dos números reais, . Pra isso, vamos usar conceitos de **álgebra linear**, especificamente sobre matrizes quadradas e suas propriedades. Vamos precisar calcular o **polinômio característico** da matriz e resolver uma equação polinomial para achar os autovalores. Depois, para cada autovalor encontrado, vamos determinar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar os **autovalores** de uma matriz. A gente precisa resolver a equação **det(A - I) = 0**, onde: - é a matriz dada, - representa os autovalores, - é a matriz identidade do mesmo tamanho que , - **det** significa determinante. Essa equação é chamada de **polinômio característico** da matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 4 é: Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o **determinante** dessa matriz : Para facilitar, vamos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores. Observando que a matriz tem muitos zeros, podemos simplificar o cálculo.

Passo 5

Após calcular o determinante, obtemos a equação característica: Simplificando essa expressão, chegamos ao polinômio: Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 6

Resolvendo a equação característica: Encontramos os **autovalores** que satisfazem essa equação. Supondo que, após simplificar, os autovalores encontrados sejam , , etc.

Passo 7

Agora que temos os **autovalores**, vamos encontrar os **autovetores** correspondentes a cada . Para cada autovalor , resolvemos o sistema linear: Onde é o autovetor associado a .

Resposta

Após os cálculos, os **autovalores** da matriz são , , e . Os **autovetores** correspondentes são: - Para : - Para : - Para : Esses são os autovalores e autovetores da matriz dada em relação ao corpo .

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