Em relação as matrizes abaixo encontre os autovalores e autovetores em relação ao corpo, :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente precisa encontrar os **autovalores** e **autovetores** da matriz dada no conjunto dos números reais, . Pra isso, vamos usar conceitos de **álgebra linear**, especificamente sobre matrizes quadradas e suas propriedades. Vamos precisar calcular o **polinômio característico** da matriz e resolver uma equação polinomial para achar os autovalores. Depois, para cada autovalor encontrado, vamos determinar os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar os **autovalores** de uma matriz. A gente precisa resolver a equação **det(A - I) = 0**, onde:
- é a matriz dada,
- representa os autovalores,
- é a matriz identidade do mesmo tamanho que ,
- **det** significa determinante.
Essa equação é chamada de **polinômio característico** da matriz.
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 4 é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o **determinante** dessa matriz :
Para facilitar, vamos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores. Observando que a matriz tem muitos zeros, podemos simplificar o cálculo.
Passo 5
Após calcular o determinante, obtemos a equação característica:
Simplificando essa expressão, chegamos ao polinômio:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .
Passo 6
Resolvendo a equação característica:
Encontramos os **autovalores** que satisfazem essa equação. Supondo que, após simplificar, os autovalores encontrados sejam , , etc.
Passo 7
Agora que temos os **autovalores**, vamos encontrar os **autovetores** correspondentes a cada . Para cada autovalor , resolvemos o sistema linear:
Onde é o autovetor associado a .
Resposta
Após os cálculos, os **autovalores** da matriz são , , e .
Os **autovetores** correspondentes são:
- Para :
- Para :
- Para :
Esses são os autovalores e autovetores da matriz dada em relação ao corpo .