Considere a matriz
Encontre matrizes elementares tais que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar várias matrizes elementares que, quando multiplicadas pela matriz , resultem na matriz identidade . Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que envolve aplicar operações elementares nas linhas da matriz para transformá-la em .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz e a matriz identidade :
Nosso objetivo é aplicar operações nas linhas de para transformá-la em . Cada operação corresponde a uma matriz elementar.

Passo 3

Operação 1: Vamos começar zerando o elemento . Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha.
A matriz elementar correspondente a essa operação é:
Aplicando em :

Passo 4

Operação 2: Agora, vamos zerar o elemento . Como já é zero, não precisamos fazer nada nessa etapa. Passamos para o próximo elemento.

Passo 5

Operação 3: Vamos focar no pivô da segunda coluna. Atualmente, . Vamos normalizar essa linha dividindo por -3 para que o pivô seja 1.
A matriz elementar correspondente é:
Aplicando :

Passo 6

Operação 4: Agora, vamos zerar o elemento usando a segunda linha. Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos a segunda linha.
A matriz elementar correspondente é:
Aplicando :

Passo 7

Operação 5: Finalmente, vamos normalizar o elemento dividindo a terceira linha por .
A matriz elementar correspondente é:
Aplicando :

Resposta

As matrizes elementares que satisfazem são:
Ou seja,

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