Considere a matriz
A=(lll 1 & 2 & 3 2 & 1 & 2 0 & 1 & 2 )
Encontre matrizes elementares Ek, ldots, E2, E1 tais que
Ek cdot ldots cdot E2 cdot E1 cdot A=I3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa encontrar várias matrizes elementares que, quando multiplicadas pela matriz , resultem na matriz identidade . Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que envolve aplicar operações elementares nas linhas da matriz para transformá-la em .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 2 0 & 1 & 2 , I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 e a matriz identidade :
Nosso objetivo é aplicar operações nas linhas de para transformá-la em . Cada operação corresponde a uma matriz elementar.

Passo 3

Operação 1: Vamos começar zerando o elemento Linha 2 Linha 2 - 2 times Linha 1 . Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos 2 vezes a primeira linha.
E1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1
A matriz elementar correspondente a essa operação é:
E1 cdot A = 1 & 2 & 3 0 & -3 & -4 0 & 1 & 2
Aplicando em :

Passo 4

Operação 2: Agora, vamos zerar o elemento . Como já é zero, não precisamos fazer nada nessa etapa. Passamos para o próximo elemento.

Passo 5

Operação 3: Vamos focar no pivô da segunda coluna. Atualmente, Linha 2 1-3 times Linha 2 . Vamos normalizar essa linha dividindo por -3 para que o pivô seja 1.
E2 = 1 & 0 & 0 0 & -13 & 0 0 & 0 & 1
A matriz elementar correspondente é:
E2 cdot E1 cdot A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 43 0 & 1 & 2
Aplicando :

Passo 6

Operação 4: Agora, vamos zerar o elemento Linha 3 Linha 3 - Linha 2 usando a segunda linha. Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos a segunda linha.
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1
A matriz elementar correspondente é:
E3 cdot E2 cdot E1 cdot A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 43 0 & 0 & 23
Aplicando :

Passo 7

Operação 5: Finalmente, vamos normalizar o elemento Linha 3 32 times Linha 3 dividindo a terceira linha por E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 32 .
E4 cdot E3 cdot E2 cdot E1 cdot A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 43 0 & 0 & 1
A matriz elementar correspondente é:
Aplicando :

Resposta

As matrizes elementares que satisfazem E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 32 , E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & -13 & 0 0 & 0 & 1 , E1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 são:
Ek cdot ldots cdot E2 cdot E1 = E4 cdot E3 cdot E2 cdot E1 = A^-1
Ou seja,

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