Dadas as matrizes, determine a inversa (se existir) aplicando operações elementares.
A=[ccc 1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e queremos achar a inversa dela, se ela existir. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e operações elementares. Pra resolver, vamos precisamos usar as operações elementares de linha para transformar a matriz na matriz identidade, fazendo as mesmas operações na matriz identidade ao lado. Se der certo, a matriz que está do lado direito vai ser a inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [ccc|ccc 1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 5 & 0 & 1 & 0 2 & 7 & -3 & 0 & 0 & 1 ] e ao lado dela colocar a matriz identidade do mesmo tamanho, formando uma matriz aumentada :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda (matriz ) na matriz identidade usando operações de linha. A primeira coisa que vamos fazer é garantir que o pivô da primeira coluna seja 1. Já está certo na primeira linha, então vamos eliminar os números abaixo desse 1.

Passo 4

Vamos somar a primeira linha à segunda para eliminar o -1 na posição (2,1):
R2 = R2 + R1
Isso resulta em:
[ccc|ccc 1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 2 & 7 & -3 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 2 na posição (3,1) da terceira linha. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira:
R3 = R3 - 2R1
Ficando assim:
[ccc|ccc 1 & 2 & -4 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 3 & 5 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos agora focar na segunda coluna. Já temos um 1 na posição (2,2). Vamos usar esse 1 para eliminar os números acima e abaixo dele. Primeiro, eliminamos o 2 na posição (1,2) somando -2 vezes a segunda linha à primeira:
R1 = R1 - 2R2
E então, eliminamos o 3 na posição (3,2) subtraindo 3 vezes a segunda linha da terceira:
R3 = R3 - 3R2
Após essas operações, a matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & -6 & -1 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & -5 & -3 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos que o pivô dessa coluna seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 2:
R3 = 12R3
Ficando assim:
[ccc|ccc 1 & 0 & -6 & -1 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -52 & -32 & 12 ]

Passo 8

Vamos eliminar os números acima do pivô na terceira coluna. Primeiro, adicionamos 6 vezes a terceira linha à primeira:
R1 = R1 + 6R3
E depois subtraímos 1 vez a terceira linha da segunda:
R2 = R2 - R3
Após essas operações, a matriz fica:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -16 & -11 & 3 0 & 1 & 0 & 72 & 52 & -12 0 & 0 & 1 & -52 & -32 & 12 ]

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = [ccc -16 & -11 & 3 72 & 52 & -12 -52 & -32 & 12 ] é:

Exercícios relacionados