(1 , 0 ) Prove a Identidade de Lagrange: Para quaisquer vetores u e v temos
|u times v|^2=|u|^2|v|^2-(u cdot v)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar a Identidade de Lagrange, que relaciona o produto vetorial e o produto interno (também chamado de produto escalar) de dois vetores. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial. Para resolver, a gente vai precisar entender como funcionam o produto vetorial e o produto interno, além de usar propriedades básicas desses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) e , representado por , resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto interno (ou escalar). O produto interno entre u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) e , representado por , é dado por:
Esse produto resulta em um número (escalar) que está relacionado com o quanto os vetores apontam na mesma direção.

Passo 4

Vamos agora calcular o quadrado da magnitude do produto vetorial:
|u times v|^2 = (|u| cdot |v| cdot sin(theta))^2 = |u|^2 cdot |v|^2 cdot sin^2(theta)

Passo 5

De igual forma, vamos calcular o quadrado do produto interno:
(u cdot v)^2 = (|u| cdot |v| cdot cos(theta))^2 = |u|^2 cdot |v|^2 cdot cos^2(theta)

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados:
|u times v|^2 + (u cdot v)^2 = |u|^2 cdot |v|^2 cdot (sin^2(theta) + cos^2(theta))
Sabemos que |u times v|^2 + (u cdot v)^2 = |u|^2 cdot |v|^2 , então:

Passo 7

Rearranjando a equação acima para isolar |u times v|^2 = |u|^2 cdot |v|^2 - (u cdot v)^2 , temos:

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer vetores |u times v|^2 = |u|^2 |v|^2 - (u cdot v)^2 e ,
Essa é justamente a Identidade de Lagrange!

Exercícios relacionados