) Prove a Identidade de Lagrange: Para quaisquer vetores
e
temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar a Identidade de Lagrange, que relaciona o produto vetorial e o produto interno (também chamado de produto escalar) de dois vetores. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial. Para resolver, a gente vai precisar entender como funcionam o produto vetorial e o produto interno, além de usar propriedades básicas desses produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
, representado por
, resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do produto interno (ou escalar). O produto interno entre
e
, representado por
, é dado por:
Esse produto resulta em um número (escalar) que está relacionado com o quanto os vetores apontam na mesma direção.
Passo 4
Vamos agora calcular o quadrado da magnitude do produto vetorial:
Passo 5
De igual forma, vamos calcular o quadrado do produto interno:
Passo 6
Agora, somamos os dois resultados:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Rearranjando a equação acima para isolar
, temos:
Resposta
Portanto, provamos que para quaisquer vetores
e
,
Essa é justamente a Identidade de Lagrange!