) Prove a Identidade de Lagrange: Para quaisquer vetores e temos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar a Identidade de Lagrange, que relaciona o produto vetorial e o produto interno (também chamado de produto escalar) de dois vetores. A matéria envolvida aqui é Álgebra Vetorial. Para resolver, a gente vai precisar entender como funcionam o produto vetorial e o produto interno, além de usar propriedades básicas desses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e , representado por , resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. A magnitude desse vetor é dada por:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto interno (ou escalar). O produto interno entre e , representado por , é dado por:
Esse produto resulta em um número (escalar) que está relacionado com o quanto os vetores apontam na mesma direção.

Passo 4

Vamos agora calcular o quadrado da magnitude do produto vetorial:

Passo 5

De igual forma, vamos calcular o quadrado do produto interno:

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados:
Sabemos que , então:

Passo 7

Rearranjando a equação acima para isolar , temos:

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer vetores e ,
Essa é justamente a Identidade de Lagrange!

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Verifique se o subconjunto W é subespaço vetorial de V.
e é o conjunto das funções contínuas de em .
Prove que e são subespaços vetoriais de , onde
e
Considere a matriz
Encontre matrizes elementares tais que
Considere a matriz
Fazendo qual matriz será encontrada?