Considere a matriz
A é matriz diagonalizável? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a matriz é diagonalizável. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de e ver se conseguimos formar uma base completa com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela puder ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz dos autovetores de . Para isso, precisamos que a matriz tenha tantos autovetores linearmente independentes quanto o seu tamanho, no caso, 3.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.
A matriz fica:

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
Então, igualando a zero:
Isso nos dá os autovalores com multiplicidade 2 e com multiplicidade 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Da terceira linha: => .
Podemos escolher, por exemplo, , , então . Um autovetor é .
Podemos escolher outro autovetor livremente, por exemplo, , , então . Outro autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Das duas primeiras linhas: => e => .
Da terceira linha: , que já é satisfeita. Então, pode ser qualquer valor. Escolhemos . O autovetor é .

Passo 6

Agora, temos três autovetores , e que são linearmente independentes. Isso significa que conseguimos formar a matriz com esses autovetores como colunas e sendo a matriz diagonal dos autovalores.

Passo 7

Como encontramos exatamente três autovetores linearmente independentes para a matriz , que é de ordem 3, podemos concluir que é diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável porque possui três autovetores linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Sejam
e
subespaços vetoriais de .
Determine uma base para e para .
Verifique se o conjunto dado abaixo forma uma base de .
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F). Justifique sua resposta com propriedades ou contra-exemplos.
( ) Se , então é matriz simétrica.
Seja a matriz
Verificar se é invertível.