Considere a matriz
A=(lll 5 & 0 & 0 0 & 5 & 0 2 & 2 & 7 )
A é matriz diagonalizável? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a matriz é diagonalizável. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de e ver se conseguimos formar uma base completa com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela puder ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz dos autovetores de . Para isso, precisamos que a matriz tenha tantos autovetores linearmente independentes quanto o seu tamanho, no caso, 3.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 5 - lambda & 0 & 0 0 & 5 - lambda & 0 2 & 2 & 7 - lambda . Para isso, resolvemos o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.
A matriz fica:

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (5 - lambda)(5 - lambda)(7 - lambda) - 0 - 0 = (5 - lambda)^2(7 - lambda)
Então, igualando a zero:
(5 - lambda)^2(7 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores com multiplicidade 2 e com multiplicidade 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 2 & 2 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 1 0 -1:

[
0 1 -1
-2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 2 & 2 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0

0 0 1
]
Da terceira linha: => .
Podemos escolher, por exemplo, , , então . Um autovetor é .
Podemos escolher outro autovetor livremente, por exemplo, , , então . Outro autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Das duas primeiras linhas: => e => .
Da terceira linha: , que já é satisfeita. Então, pode ser qualquer valor. Escolhemos . O autovetor é .

Passo 6

Agora, temos três autovetores , e que são linearmente independentes. Isso significa que conseguimos formar a matriz com esses autovetores como colunas e sendo a matriz diagonal dos autovalores.

Passo 7

Como encontramos exatamente três autovetores linearmente independentes para a matriz , que é de ordem 3, podemos concluir que é diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável porque possui três autovetores linearmente independentes.

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