Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a matriz é diagonalizável. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de e ver se conseguimos formar uma base completa com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela puder ser escrita como , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz dos autovetores de . Para isso, precisamos que a matriz tenha tantos autovetores linearmente independentes quanto o seu tamanho, no caso, 3.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores de . Para isso, resolvemos o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.
A matriz fica:
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Então, igualando a zero:
Isso nos dá os autovalores com multiplicidade 2 e com multiplicidade 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Da terceira linha: => .
Podemos escolher, por exemplo, , , então . Um autovetor é .
Podemos escolher outro autovetor livremente, por exemplo, , , então . Outro autovetor é .
Para :
Resolvemos :
[
]
Das duas primeiras linhas: => e => .
Da terceira linha: , que já é satisfeita. Então, pode ser qualquer valor. Escolhemos . O autovetor é .
Passo 6
Agora, temos três autovetores , e que são linearmente independentes. Isso significa que conseguimos formar a matriz com esses autovetores como colunas e sendo a matriz diagonal dos autovalores.
Passo 7
Como encontramos exatamente três autovetores linearmente independentes para a matriz , que é de ordem 3, podemos concluir que é diagonalizável.
Resposta
Sim, a matriz é diagonalizável porque possui três autovetores linearmente independentes.