Verifique se o conjunto dado abaixo forma uma base de R^4.
(1,2,3,4),(4,3,2,1),(1,1,1,1),(0,0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é verificar se um conjunto de quatro vetores forma uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente na parte de bases e independência linear. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar se os vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Então nossa matriz fica assim:
1 & 4 & 1 & 0 2 & 3 & 1 & 0 3 & 2 & 1 & 0 4 & 1 & 1 & 1
Agora, para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Passo 3

Vamos calcular o determinante passo a passo. Primeiro, escolhemos a primeira linha para expansão:
det(A) = 1 cdot 3 & 1 & 0 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 - 4 cdot 2 & 1 & 0 3 & 1 & 0 4 & 1 & 1 + 1 cdot 2 & 3 & 0 3 & 2 & 0 4 & 1 & 1 - 0 cdot ldots
Note que o último termo desaparece porque está multiplicado por zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada menor:
  1. Para a primeira menor:
3 & 1 & 0 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 = 3 cdot 1 & 0 1 & 1 - 1 cdot 2 & 0 1 & 1 + 0 cdot ldots = 3(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 1(2 cdot 1 - 0 cdot 1) = 3 - 2 = 1
  1. Para a segunda menor:
2 & 1 & 0 3 & 1 & 0 4 & 1 & 1 = 2 cdot 1 & 0 1 & 1 - 1 cdot 3 & 0 4 & 1 + 0 cdot ldots = 2(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 1(3 cdot 1 - 0 cdot 4) = 2 - 3 = -1
  1. Para a terceira menor:
2 & 3 & 0 3 & 2 & 0 4 & 1 & 1 = 2 cdot 2 & 0 1 & 1 - 3 cdot 3 & 0 4 & 1 + 0 cdot ldots = 2(2 cdot 1 - 0 cdot 1) - 3(3 cdot 1 - 0 cdot 4) = 4 - 9 = -5

Passo 5

Agora, substituímos esses valores no cálculo do determinante:
det(A) = 1 cdot 1 - 4 cdot (-1) + 1 cdot (-5) = 1 + 4 - 5 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto dado não forma uma base de , pois os vetores são linearmente dependentes.

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