Verifique se o conjunto dado abaixo forma uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é verificar se um conjunto de quatro vetores forma uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente na parte de bases e independência linear. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar se os vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Então nossa matriz fica assim:
Agora, para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Passo 3

Vamos calcular o determinante passo a passo. Primeiro, escolhemos a primeira linha para expansão:
Note que o último termo desaparece porque está multiplicado por zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada menor:
  1. Para a primeira menor:
  1. Para a segunda menor:
  1. Para a terceira menor:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores no cálculo do determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto dado não forma uma base de , pois os vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Seja a matriz
Encontre a matriz adjunta.
Seja uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -2 e seja a matriz quadrada obtida de após serem realizadas as seguintes operações elementares sobre as linhas de :
Calcule o determinante da matriz .
Sejam
e
subespaços vetoriais de .
Determine uma base para e para .
Considere a matriz
A é matriz diagonalizável? Justifique!