Verifique se o conjunto dado abaixo forma uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é verificar se um conjunto de quatro vetores forma uma base de . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente na parte de bases e independência linear. Para resolver isso, a gente vai precisar verificar se os vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz. Então nossa matriz fica assim:
Agora, para verificar a independência linear, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 3
Vamos calcular o determinante passo a passo. Primeiro, escolhemos a primeira linha para expansão:
Note que o último termo desaparece porque está multiplicado por zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada menor:
Para a primeira menor:
Para a segunda menor:
Para a terceira menor:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores no cálculo do determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto dado não forma uma base de , pois os vetores são linearmente dependentes.