subespaços vetoriais de .
Determine uma base para e para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores, chamados e , que são subespaços de . Nosso objetivo é encontrar uma base para cada um desses subespaços. Para isso, vamos precisar entender o que define e e como esses critérios nos ajudam a encontrar vetores que formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que qualquer vetor em deve obedecer a essa condição.
Passo 3
Para encontrar uma base para , precisamos expressar alguns dos componentes em termos dos outros. Vamos resolver a equação para :
Isso nos mostra que depende de e . Agora, podemos escolher , e como parâmetros livres, e expressar em função desses.
Passo 4
Assim, podemos escrever um vetor genérico em da seguinte forma:
Aqui, , e são livres, e os vetores , e formam a base para .
Passo 5
Agora, vamos para . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem e . Isso impõe duas condições nos vetores de .
Passo 6
Para encontrar uma base para , vamos expressar e em termos de e . Já sabemos que e . Então, podemos escrever um vetor em como:
Aqui, e são livres, e os vetores e formam a base para .
Resposta
Uma base para é formada pelos vetores e uma base para é formada pelos vetores .