Sejam
e
subespaços vetoriais de
.
Determine uma base para
e para
.
Determine uma base para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores, chamados
e
, que são subespaços de
. Nosso objetivo é encontrar uma base para cada um desses subespaços. Para isso, vamos precisar entender o que define
e
e como esses critérios nos ajudam a encontrar vetores que formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Ele é definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Isso significa que qualquer vetor em
deve obedecer a essa condição.
Passo 3
Para encontrar uma base para
, precisamos expressar alguns dos componentes em termos dos outros. Vamos resolver a equação
para
:
Isso nos mostra que
depende de
e
. Agora, podemos escolher
,
e
como parâmetros livres, e expressar
em função desses.
Passo 4
Assim, podemos escrever um vetor genérico em
da seguinte forma:
Aqui,
,
e
são livres, e os vetores
,
e
formam a base para
.
Passo 5
Agora, vamos para
. Ele é definido por todos os vetores
em
que satisfazem
e
. Isso impõe duas condições nos vetores de
.
Passo 6
Para encontrar uma base para
, vamos expressar
e
em termos de
e
. Já sabemos que
e
. Então, podemos escrever um vetor em
como:
Aqui,
e
são livres, e os vetores
e
formam a base para
.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e uma base para
é formada pelos vetores
.