Sejam
U=(x, y, z, t) in R^4 mid y-2 z+t=0
e
W=(x, y, z, t) in R^4 mid x=t, y=2 z
subespaços vetoriais de R^4.
Determine uma base para U e para W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores, chamados e , que são subespaços de . Nosso objetivo é encontrar uma base para cada um desses subespaços. Para isso, vamos precisar entender o que define e e como esses critérios nos ajudam a encontrar vetores que formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que qualquer vetor em deve obedecer a essa condição.

Passo 3

Para encontrar uma base para y = 2z - t , precisamos expressar alguns dos componentes em termos dos outros. Vamos resolver a equação para :
Isso nos mostra que depende de e . Agora, podemos escolher , e como parâmetros livres, e expressar em função desses.

Passo 4

Assim, podemos escrever um vetor genérico em (x, y, z, t) = (x, 2z - t, z, t) = x(1, 0, 0, 0) + z(0, 2, 1, 0) + t(0, -1, 0, 1) da seguinte forma:
Aqui, , e são livres, e os vetores , e formam a base para .

Passo 5

Agora, vamos para . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem e . Isso impõe duas condições nos vetores de .

Passo 6

Para encontrar uma base para (x, y, z, t) = (t, 2z, z, t) = t(1, 0, 0, 1) + z(0, 2, 1, 0) , vamos expressar e em termos de e . Já sabemos que e . Então, podemos escrever um vetor em como:
Aqui, e são livres, e os vetores e formam a base para .

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e uma base para é formada pelos vetores .

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