Sejam
e
subespaços vetoriais de .
Determine uma base para e para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores, chamados e , que são subespaços de . Nosso objetivo é encontrar uma base para cada um desses subespaços. Para isso, vamos precisar entender o que define e e como esses critérios nos ajudam a encontrar vetores que formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que qualquer vetor em deve obedecer a essa condição.

Passo 3

Para encontrar uma base para , precisamos expressar alguns dos componentes em termos dos outros. Vamos resolver a equação para :
Isso nos mostra que depende de e . Agora, podemos escolher , e como parâmetros livres, e expressar em função desses.

Passo 4

Assim, podemos escrever um vetor genérico em da seguinte forma:
Aqui, , e são livres, e os vetores , e formam a base para .

Passo 5

Agora, vamos para . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem e . Isso impõe duas condições nos vetores de .

Passo 6

Para encontrar uma base para , vamos expressar e em termos de e . Já sabemos que e . Então, podemos escrever um vetor em como:
Aqui, e são livres, e os vetores e formam a base para .

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e uma base para é formada pelos vetores .

Exercícios relacionados

Verifique se o conjunto dado abaixo forma uma base de .
Seja a matriz
Encontre a matriz adjunta.
Considere a matriz
A é matriz diagonalizável? Justifique!
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F). Justifique sua resposta com propriedades ou contra-exemplos.
( ) Se , então é matriz simétrica.