Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F). Justifique sua resposta com propriedades ou contra-exemplos.
( ) Se
, então
é matriz simétrica.
( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação “Se
, então
é matriz simétrica” é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com matrizes e propriedades de matrizes simétricas e inversas. Para resolver, vamos precisar lembrar o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a matriz
multiplicada pela sua transposta
resulta na matriz identidade
. Matrizes que satisfazem essa condição são chamadas de matrizes ortogonais. Uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que
. Ou seja, a inversa de
é igual à sua transposta.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Sabemos que
, então podemos reescrever essa expressão como
.
Passo 4
Para verificar se
é uma matriz simétrica, precisamos ver se ela é igual à sua transposta. Vamos calcular a transposta de
:
Perceba que a transposta de
é igual a
, o que significa que
é simétrica.
Resposta
Verdadeiro. Se
, então
é uma matriz simétrica.