Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F). Justifique sua resposta com propriedades ou contra-exemplos.
( ) Se A A^T=I, então A+A^-1 é matriz simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação “Se , então é matriz simétrica” é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com matrizes e propriedades de matrizes simétricas e inversas. Para resolver, vamos precisar lembrar o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a matriz multiplicada pela sua transposta resulta na matriz identidade . Matrizes que satisfazem essa condição são chamadas de matrizes ortogonais. Uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que . Ou seja, a inversa de é igual à sua transposta.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que , então podemos reescrever essa expressão como .

Passo 4

Para verificar se (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T é uma matriz simétrica, precisamos ver se ela é igual à sua transposta. Vamos calcular a transposta de :
Perceba que a transposta de é igual a , o que significa que é simétrica.

Resposta

Verdadeiro. Se , então é uma matriz simétrica.

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