Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F). Justifique sua resposta com propriedades ou contra-exemplos.
( ) Se , então é matriz simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação “Se , então é matriz simétrica” é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com matrizes e propriedades de matrizes simétricas e inversas. Para resolver, vamos precisar lembrar o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a matriz multiplicada pela sua transposta resulta na matriz identidade . Matrizes que satisfazem essa condição são chamadas de matrizes ortogonais. Uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que . Ou seja, a inversa de é igual à sua transposta.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que , então podemos reescrever essa expressão como .
Passo 4
Para verificar se é uma matriz simétrica, precisamos ver se ela é igual à sua transposta. Vamos calcular a transposta de :
Perceba que a transposta de é igual a , o que significa que é simétrica.