Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa calcular o determinante de para qualquer número natural . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes de matrizes e propriedades de potências de matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o determinante de uma matriz elevada a uma potência pode ser calculado usando a propriedade:
Isso significa que, para encontrar , basta primeiro calcular e depois elevar esse resultado à potência .
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz :
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Calculando cada parte:
Então, .
Passo 4
Agora que sabemos que , aplicamos a propriedade que mencionamos no Passo 2: