(a) Considere a matriz A=[lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 3 & 2 & 1]. Calcule det(A^n) para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisa calcular o determinante de para qualquer número natural . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes de matrizes e propriedades de potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o determinante de uma matriz elevada a uma potência det(A^n) = (det A)^n pode ser calculado usando a propriedade:
Isso significa que, para encontrar , basta primeiro calcular e depois elevar esse resultado à potência .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 3 & 2 & 1 :
det A = 1(3 cdot 1 - 1 cdot 2) - 2(2 cdot 1 - 1 cdot 3) + 3(2 cdot 2 - 3 cdot 3)
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
= 1(3 - 2) - 2(2 - 3) + 3(4 - 9)
Calculando cada parte:
= 1(1) - 2(-1) + 3(-5)
= 1 + 2 - 15
= -12
Então, .

Passo 4

Agora que sabemos que det(A^n) = (det A)^n = (-12)^n , aplicamos a propriedade que mencionamos no Passo 2:

Resposta

det(A^n) = (-12)^n

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