Sendo A=(ccc2 & -1 & 1 0 & 3 & -2 2 & -1 & -1) e B=(ccc0 & 3 & -1 0 & 1 & 1 4 & 4 & 0), calcule A+B, B+A, A B e B A.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas matrizes, A e B, e precisa calcular a soma delas de duas formas diferentes (A + B e B + A) e também multiplicar A por B e B por A. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar e multiplicar matrizes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos somar A e B. Somar matrizes é bem tranquilo: a gente simplesmente soma cada elemento correspondente das duas matrizes. Ou seja, pegamos o elemento da primeira linha e primeira coluna de A e somamos com o da primeira linha e primeira coluna de B, e assim por diante para todos os elementos.

Passo 3

Vamos fazer A + B:

[
A + B = A + B = 2 & -1 & 1 0 & 3 & -2 2 & -1 & -1 + 0 & 3 & -1 0 & 1 & 1 4 & 4 & 0 = 2+0 & -1+3 & 1+(-1) 0+0 & 3+1 & -2+1 2+4 & -1+4 & -1+0 = 2 & 2 & 0 0 & 4 & -1 6 & 3 & -1
+


]

Passo 4

Agora, vamos calcular B + A. Como a soma de matrizes é comutativa, ou seja, A + B é igual a B + A, esperamos que o resultado seja o mesmo que fizemos no passo anterior.

Passo 5

Vamos confirmar B + A:

[
B + A = B + A = 0 & 3 & -1 0 & 1 & 1 4 & 4 & 0 + 2 & -1 & 1 0 & 3 & -2 2 & -1 & -1 = 0+2 & 3+(-1) & -1+1 0+0 & 1+3 & 1+(-2) 4+2 & 4+(-1) & 0+(-1) = 2 & 2 & 0 0 & 4 & -1 6 & 3 & -1
+


]
Como esperado, A + B é igual a B + A.

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as matrizes. Multiplicar matrizes é um pouco mais trabalhoso. A regra é: para multiplicar a matriz A pela matriz B, você pega as linhas de A e multiplica pelos elementos correspondentes nas colunas de B, somando os resultados. É importante lembrar que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de B.

Passo 7

Vamos calcular A × B:
A = 2 & -1 & 1 0 & 3 & -2 2 & -1 & -1 , B = 0 & 3 & -1 0 & 1 & 1 4 & 4 & 0
Vamos multiplicar cada linha de A por cada coluna de B:
  • Primeiro elemento (1,1):
(2 times 0) + (-1 times 0) + (1 times 4) = 0 + 0 + 4 = 4
  • Primeiro elemento (1,2):
(2 times 3) + (-1 times 1) + (1 times 4) = 6 - 1 + 4 = 9
  • Primeiro elemento (1,3):
(2 times -1) + (-1 times 1) + (1 times 0) = -2 -1 + 0 = -3
  • Segundo elemento (2,1):
(0 times 0) + (3 times 0) + (-2 times 4) = 0 + 0 -8 = -8
  • Segundo elemento (2,2):
(0 times 3) + (3 times 1) + (-2 times 4) = 0 + 3 -8 = -5
  • Segundo elemento (2,3):
(0 times -1) + (3 times 1) + (-2 times 0) = 0 + 3 + 0 = 3
  • Terceiro elemento (3,1):
(2 times 0) + (-1 times 0) + (-1 times 4) = 0 + 0 -4 = -4
  • Terceiro elemento (3,2):
(2 times 3) + (-1 times 1) + (-1 times 4) = 6 -1 -4 = 1
  • Terceiro elemento (3,3):
(2 times -1) + (-1 times 1) + (-1 times 0) = -2 -1 + 0 = -3
Portanto, A × B é:
A B = 4 & 9 & -3 -8 & -5 & 3 -4 & 1 & -3

Passo 8

Agora, vamos calcular B × A. Lembrando que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, B × A pode ser diferente de A × B. Vamos seguir o mesmo processo:
B = 0 & 3 & -1 0 & 1 & 1 4 & 4 & 0 , A = 2 & -1 & 1 0 & 3 & -2 2 & -1 & -1
Multiplicando cada linha de B por cada coluna de A:
  • Primeiro elemento (1,1):
(0 times 2) + (3 times 0) + (-1 times 2) = 0 + 0 -2 = -2
  • Primeiro elemento (1,2):
(0 times -1) + (3 times 3) + (-1 times -1) = 0 + 9 +1 = 10
  • Primeiro elemento (1,3):
(0 times 1) + (3 times -2) + (-1 times -1) = 0 -6 +1 = -5
  • Segundo elemento (2,1):
(0 times 2) + (1 times 0) + (1 times 2) = 0 + 0 +2 = 2
  • Segundo elemento (2,2):
(0 times -1) + (1 times 3) + (1 times -1) = 0 +3 -1 = 2
  • Segundo elemento (2,3):
(0 times 1) + (1 times -2) + (1 times -1) = 0 -2 -1 = -3
  • Terceiro elemento (3,1):
(4 times 2) + (4 times 0) + (0 times 2) = 8 + 0 +0 = 8
  • Terceiro elemento (3,2):
(4 times -1) + (4 times 3) + (0 times -1) = -4 +12 +0 = 8
  • Terceiro elemento (3,3):
(4 times 1) + (4 times -2) + (0 times -1) = 4 -8 +0 = -4
Assim, B × A é:
B A = -2 & 10 & -5 2 & 2 & -3 8 & 8 & -4

Resposta

Calculando as somas e produtos das matrizes A e B, obtemos:
A + B = B + A = 2 & 2 & 0 0 & 4 & -1 6 & 3 & -1
A B = 4 & 9 & -3 -8 & -5 & 3 -4 & 1 & -3
B A = -2 & 10 & -5 2 & 2 & -3 8 & 8 & -4

Exercícios relacionados