Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear que atua no espaço das matrizes com números reais, . O operador é definido por , onde é a matriz dada:
O que precisamos descobrir é o núcleo de (ou seja, todas as matrizes que fazem ) e encontrar uma base para a imagem de (ou seja, todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a alguma matriz ).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , representado por . Isso significa resolver a equação:
Onde é uma matriz desconhecida:
Multiplicando por :
Para que , cada elemento dessa matriz resultante deve ser zero:
Resolvendo essas equações:
De , temos .
De e sabendo que , fica ⇒ .
De , temos .
De e sabendo que , fica ⇒ .
Então, a única solução é , a matriz nula.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para a imagem de E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1 , ou seja, encontrar um conjunto de matrizes que geram todas as possíveis matrizes .
Sabemos que mapeia qualquer matriz para . Como é uma matriz invertível (seu determinante é ), o operador é injetor e, portanto, sua imagem é todo o espaço .
Isso significa que qualquer matriz pode ser alcançada por para algum . Portanto, uma base para a imagem de é simplesmente a base padrão de , que consiste nas seguintes matrizes:
Resposta
ker(T) = 0
E uma base da imagem de 1 & 0 0 & 0 , , 0 & 1 0 & 0 , , 0 & 0 1 & 0 , , 0 & 0 0 & 1 é: