Seja T0 operador linear de M2(R) definido por T(X)=B X, onde
B=[ll 3 & 0 1 & 2 ]
determine ker(T) e uma base da imagem de T .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear B = 3 & 0 1 & 2 que atua no espaço das matrizes com números reais, . O operador é definido por , onde é a matriz dada:
O que precisamos descobrir é o núcleo de (ou seja, todas as matrizes que fazem ) e encontrar uma base para a imagem de (ou seja, todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a alguma matriz ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de BX = 0 , representado por X = x11 & x12 x21 & x22 . Isso significa resolver a equação:
BX = 3 & 0 1 & 2 x11 & x12 x21 & x22 = 3x11 + 0x21 & 3x12 + 0x22 1x11 + 2x21 & 1x12 + 2x22 = 3x11 & 3x12 x11 + 2x21 & x12 + 2x22
Onde 3x11 = 0 3x12 = 0 x11 + 2x21 = 0 x12 + 2x22 = 0 é uma matriz desconhecida:
Multiplicando por :
Para que , cada elemento dessa matriz resultante deve ser zero:
Resolvendo essas equações:
  • De , temos .
  • De e sabendo que , fica .
  • De , temos .
  • De e sabendo que , fica .
Então, a única solução é , a matriz nula.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para a imagem de E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1 , ou seja, encontrar um conjunto de matrizes que geram todas as possíveis matrizes .
Sabemos que mapeia qualquer matriz para . Como é uma matriz invertível (seu determinante é ), o operador é injetor e, portanto, sua imagem é todo o espaço .
Isso significa que qualquer matriz pode ser alcançada por para algum . Portanto, uma base para a imagem de é simplesmente a base padrão de , que consiste nas seguintes matrizes:

Resposta

ker(T) = 0
E uma base da imagem de 1 & 0 0 & 0 , , 0 & 1 0 & 0 , , 0 & 0 1 & 0 , , 0 & 0 0 & 1 é:

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