Represente geometricamente as seguintes retas:
a) (x, y, z)=(2+t, 3-t, 12+5 t)
b) (x, y, z)=(0, t, 1-t)
c) (x, y, z)=(1,3,4+t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos geometricamente três retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente de vetores e equações paramétricas de retas. Vamos precisar identificar um ponto que pertence à reta e o vetor direção que indica como a reta se movimenta no espaço.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): (x, y, z) = (2 + 0, 3 - 0, 12 + 5 times 0) = (2, 3, 12) .
Primeiro, identificamos um ponto na reta. Para isso, escolhemos um valor para d = (1, -1, 5) , por exemplo, :
Então, um ponto na reta é .
Agora, o vetor direção é composto pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Esse vetor indica a direção em que a reta se estende no espaço.

Passo 3

Passando para a parte b): (x, y, z) = (0, 0, 1 - 0) = (0, 0, 1) .
De novo, escolhemos d = (0, 1, -1) para encontrar um ponto na reta:
Então, temos o ponto .
O vetor direção é:
Esse vetor mostra como a reta se move no espaço a partir do ponto .

Passo 4

Agora, para a parte c): (x, y, z) = (1, 3, 4 + 0) = (1, 3, 4) .
Escolhemos d = (0, 0, 1) para achar um ponto na reta:
Portanto, temos o ponto .
O vetor direção é:
Esse vetor indica que a reta se move apenas na direção do eixo .

Resposta

Para representar geometricamente as retas:
a) A reta passa pelo ponto e tem como vetor direção .
b) A reta passa pelo ponto e tem como vetor direção .
c) A reta passa pelo ponto e tem como vetor direção .

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