Considere a matriz A=[lll1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 3 & 0 & 3].
(b) Encontre A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde queremos encontrar a inversa da matriz . Estamos falando de álgebra linear, especificamente de matrizes e suas inversas. Para isso, precisamos garantir que a matriz seja inversível, ou seja, que seu determinante seja diferente de zero. Vamos usar a fórmula da matriz inversa baseada no determinante e na matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 3 & 0 & 3 . A matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Onde os elementos da matriz são:

Passo 3

Aplicando os valores da matriz det(A) = 1 times (2 times 3 - 2 times 0) - 1 times (0 times 3 - 2 times 3) + 0 times (0 times 0 - 2 times 3) :
det(A) = 1 times (6 - 0) - 1 times (0 - 6) + 0 times (0 - 6) = 6 + 6 + 0 = 12
Calculando cada parte:
Como o determinante é 12 (diferente de zero), a matriz é inversível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j times Mij . A adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz .
Para cada elemento , o cofator é dado por:
Onde é o menor da matriz, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 5

Calculando os menores 2 & 2 0 & 3 e os cofatores 0 & 2 3 & 3 para cada elemento:
  • 0 & 2 3 & 0
  • 1 & 0 3 & 3
  • 1 & 0 3 & 3
  • 1 & 1 3 & 0
  • 1 & 0 2 & 2
  • 1 & 0 0 & 2
  • 1 & 1 0 & 2

Passo 6

Organizando os cofatores em uma matriz:
Cofatores(A) = 6 & 6 & -6 -3 & 3 & 3 2 & -2 & 2
Agora, vamos transpor essa matriz para obter a matriz adjunta:
Adj(A) = 6 & -3 & 2 6 & 3 & -2 -6 & 3 & 2

Passo 7

Finalmente, a matriz inversa A^-1 = 1det(A) times Adj(A) é dada por:
A^-1 = 112 times 6 & -3 & 2 6 & 3 & -2 -6 & 3 & 2 = 612 & -312 & 212 612 & 312 & -212 -612 & 312 & 212
Já sabemos que A^-1 = 12 & -14 & 16 12 & 14 & -16 -12 & 14 & 16 , então:
Simplificando as frações:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 12 & -14 & 16 12 & 14 & -16 -12 & 14 & 16 é:

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