Beleza, vamos resolver o exercício onde queremos encontrar a inversa da matriz . Estamos falando de álgebra linear, especificamente de matrizes e suas inversas. Para isso, precisamos garantir que a matriz seja inversível, ou seja, que seu determinante seja diferente de zero. Vamos usar a fórmula da matriz inversa baseada no determinante e na matriz adjunta.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Onde os elementos da matriz são:
Passo 3
Aplicando os valores da matriz det(A) = 1 times (2 times 3 - 2 times 0) - 1 times (0 times 3 - 2 times 3) + 0 times (0 times 0 - 2 times 3) :
det(A) = 1 times (6 - 0) - 1 times (0 - 6) + 0 times (0 - 6) = 6 + 6 + 0 = 12
Calculando cada parte:
Como o determinante é 12 (diferente de zero), a matriz é inversível.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j times Mij . A adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz .
Para cada elemento , o cofator é dado por:
Onde é o menor da matriz, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .
Passo 5
Calculando os menores 2 & 2 0 & 3 e os cofatores 0 & 2 3 & 3 para cada elemento:
0 & 2 3 & 0
1 & 0 3 & 3
1 & 0 3 & 3
1 & 1 3 & 0
1 & 0 2 & 2
1 & 0 0 & 2
1 & 1 0 & 2
Passo 6
Organizando os cofatores em uma matriz:
Cofatores(A) = 6 & 6 & -6 -3 & 3 & 3 2 & -2 & 2
Agora, vamos transpor essa matriz para obter a matriz adjunta:
Adj(A) = 6 & -3 & 2 6 & 3 & -2 -6 & 3 & 2
Passo 7
Finalmente, a matriz inversa A^-1 = 1det(A) times Adj(A) é dada por: