Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em R^3?
(F) c9 x+3 y+6 z=24 -12 x-18 z=-15 R^3-2 e q
c5 x+10 y+40 z=15, 4 x+8 y+32 z=12 R^3-1 e q

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A pergunta quer saber em qual das opções os conjuntos-solução dos sistemas têm dimensão 1, ou seja, são retas no espaço tridimensional R^3. A gente vai precisar usar conceitos de sistemas lineares e entender como determinar a dimensão das soluções desses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro sistema dado:
9x + 3y + 6z = 24 -12x - 18z = -15
Vamos tentar simplificar essas equações para ver qual é a solução desse sistema.

Passo 3

Vamos simplificar a segunda equação do primeiro sistema:
-12x - 18z = -15
Podemos dividir todos os termos por -3 para simplificar:
4x + 6z = 5
Agora, nosso sistema fica:
9x + 3y + 6z = 24 4x + 6z = 5

Passo 4

Vamos resolver o sistema usando o método da substituição ou da combinação. Vou optar por resolver a segunda equação para uma das variáveis e substituir na primeira.
Vamos resolver a segunda equação para x:
4x + 6z = 5 4x = 5 - 6z x = 5 - 6z4

Passo 5

Agora, vamos substituir x na primeira equação:
9(5 - 6z4) + 3y + 6z = 24
Vamos simplificar isso:
45 - 54z4 + 3y + 6z = 24
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
45 - 54z + 12y + 24z = 96
Simplificando:
12y - 30z = 51

Passo 6

Agora, podemos expressar y em termos de z:
12y = 51 + 30z y = 51 + 30z12 y = 174 + 5z2

Passo 7

Então, temos as soluções em termos de z:
x = 5 - 6z4 y = 174 + 5z2 z = z
Isso mostra que o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por z. Ou seja, as soluções formam uma reta em R^3.

Passo 8

Agora, vamos verificar o segundo sistema:
5x + 10y + 40z = 15 4x + 8y + 32z = 12
Primeiro, vamos simplificar as equações dividindo por fatores comuns.

Passo 9

Dividindo a primeira equação por 5:
x + 2y + 8z = 3
E a segunda equação por 4:
x + 2y + 8z = 3
Interessante! As duas equações resultaram na mesma equação. Isso significa que ambas as equações são equivalentes.

Passo 10

Como temos apenas uma equação realizada duas vezes, o sistema tem infinitas soluções, mas essas soluções não estão restritas a uma única reta. Na verdade, elas formam um plano em R^3, o que significa que a dimensão é 2.

Resposta

Apenas o primeiro sistema tem conjuntos-solução de dimensão 1, ou seja, são retas em R^3.

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