Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em
?
(F)
(F)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A pergunta quer saber em qual das opções os conjuntos-solução dos sistemas têm dimensão 1, ou seja, são retas no espaço tridimensional
. A gente vai precisar usar conceitos de sistemas lineares e entender como determinar a dimensão das soluções desses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro sistema dado:
Vamos tentar simplificar essas equações para ver qual é a solução desse sistema.
Passo 3
Vamos simplificar a segunda equação do primeiro sistema:
Podemos dividir todos os termos por -3 para simplificar:
Agora, nosso sistema fica:
Passo 4
Vamos resolver o sistema usando o método da substituição ou da combinação. Vou optar por resolver a segunda equação para uma das variáveis e substituir na primeira.
Vamos resolver a segunda equação para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na primeira equação:
Vamos simplificar isso:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 6
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Passo 7
Então, temos as soluções em termos de
:
Isso mostra que o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por
. Ou seja, as soluções formam uma reta em
.
Passo 8
Agora, vamos verificar o segundo sistema:
Primeiro, vamos simplificar as equações dividindo por fatores comuns.
Passo 9
Dividindo a primeira equação por 5:
E a segunda equação por 4:
Interessante! As duas equações resultaram na mesma equação. Isso significa que ambas as equações são equivalentes.
Passo 10
Como temos apenas uma equação realizada duas vezes, o sistema tem infinitas soluções, mas essas soluções não estão restritas a uma única reta. Na verdade, elas formam um plano em
, o que significa que a dimensão é 2.
Resposta
Apenas o primeiro sistema tem conjuntos-solução de dimensão 1, ou seja, são retas em
.