Considere a matriz .
(a) Encontre o determinante da matriz usando dois métodos diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar o determinante dela usando dois métodos diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes 3x3 utilizando diferentes abordagens.
Passo 2
Primeiro Método: Regra de Sarrus
A Regra de Sarrus é uma maneira prática de calcular determinantes de matrizes 3x3. Ela funciona assim:
Reescrevemos as duas primeiras colunas da matriz à direita da matriz original.
Multiplicamos as diagonais descendentes e somamos.
Multiplicamos as diagonais ascendentes e somamos.
Subtraímos a soma das diagonais ascendentes da soma das descendentes.
Vamos aplicar isso à nossa matriz :
Reescrevendo as duas primeiras colunas:
Agora, multiplicamos as diagonais descendentes:
Somando essas:
Em seguida, as diagonais ascendentes:
Somando essas:
Finalmente, subtraímos as somas:
Passo 3
Segundo Método: Expansão de Laplace pela primeira linha
A expansão de Laplace é um método geral para calcular determinantes, especialmente útil para matrizes maiores. Vamos expandir pela primeira linha da matriz .
A fórmula é:
Onde são os cofatores, calculados como vezes o determinante da matriz menor.
Vamos calcular cada termo:
Para :
Matriz menor retirando primeira linha e primeira coluna:
Determinante da matriz menor:
Cofator:
Contribuição:
Para :
Matriz menor retirando primeira linha e segunda coluna:
Determinante da matriz menor:
Cofator:
Contribuição:
Para :
Não precisamos calcular, pois será qualquer coisa = 0
Agora, somamos as contribuições:
Percebi que há uma discrepância entre os dois métodos. Vamos revisar o segundo método.
Correção no Segundo Método:
Ao expandir pela primeira linha, o sinal do cofator deve ser considerado corretamente. Vamos refazer:
Para :
Cofator:
Contribuição:
Para :
Cofator:
Contribuição:
Para :
Contribuição:
Somando novamente:
Ainda está diferente do primeiro método. Parece que houve um erro na aplicação dos métodos. Na verdade, o determinante correto é 6, como obtido pelo método de Sarrus. O erro no segundo método está na identificação da matriz menor ou no cálculo do cofator. Vamos verificar:
Recalculando o determinante usando a expansão de Laplace corretamente:
Para :
Matriz menor:
Determinante:
Cofator:
Contribuição:
Para :
Matriz menor:
Determinante:
Cofator:
Contribuição:
Para :
Contribuição:
Total:
Ah, parece que o erro está no primeiro método. Vamos recalcular usando a Regra de Sarrus: