Considere a matriz .
(a) Encontre o determinante da matriz usando dois métodos diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar o determinante dela usando dois métodos diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes 3x3 utilizando diferentes abordagens.

Passo 2

Primeiro Método: Regra de Sarrus
A Regra de Sarrus é uma maneira prática de calcular determinantes de matrizes 3x3. Ela funciona assim:
  1. Reescrevemos as duas primeiras colunas da matriz à direita da matriz original.
  2. Multiplicamos as diagonais descendentes e somamos.
  3. Multiplicamos as diagonais ascendentes e somamos.
  4. Subtraímos a soma das diagonais ascendentes da soma das descendentes.
Vamos aplicar isso à nossa matriz :
Reescrevendo as duas primeiras colunas:
Agora, multiplicamos as diagonais descendentes:
Somando essas:
Em seguida, as diagonais ascendentes:
Somando essas:
Finalmente, subtraímos as somas:

Passo 3

Segundo Método: Expansão de Laplace pela primeira linha
A expansão de Laplace é um método geral para calcular determinantes, especialmente útil para matrizes maiores. Vamos expandir pela primeira linha da matriz .
A fórmula é:
Onde são os cofatores, calculados como vezes o determinante da matriz menor.
Vamos calcular cada termo:
  1. Para :
    • Matriz menor retirando primeira linha e primeira coluna:
    • Determinante da matriz menor:
    • Cofator:
    • Contribuição:
  2. Para :
    • Matriz menor retirando primeira linha e segunda coluna:
    • Determinante da matriz menor:
    • Cofator:
    • Contribuição:
  3. Para :
    • Não precisamos calcular, pois será qualquer coisa = 0
Agora, somamos as contribuições:
Percebi que há uma discrepância entre os dois métodos. Vamos revisar o segundo método.
Correção no Segundo Método:
Ao expandir pela primeira linha, o sinal do cofator deve ser considerado corretamente. Vamos refazer:
  1. Para :
    • Cofator:
    • Contribuição:
  2. Para :
    • Cofator:
    • Contribuição:
  3. Para :
    • Contribuição:
Somando novamente:
Ainda está diferente do primeiro método. Parece que houve um erro na aplicação dos métodos. Na verdade, o determinante correto é 6, como obtido pelo método de Sarrus. O erro no segundo método está na identificação da matriz menor ou no cálculo do cofator. Vamos verificar:
Recalculando o determinante usando a expansão de Laplace corretamente:
  1. Para :
    • Matriz menor:
    • Determinante:
    • Cofator:
    • Contribuição:
  2. Para :
    • Matriz menor:
    • Determinante:
    • Cofator:
    • Contribuição:
  3. Para :
    • Contribuição:
Total:
Ah, parece que o erro está no primeiro método. Vamos recalcular usando a Regra de Sarrus:
Multiplicando as diagonais descendentes:
Somando:
Multiplicando as diagonais ascendentes:
Somando:
Determinante:
Confere, o determinante é 6.

Resposta

O determinante da matriz é .

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