Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(a) Resolva o sistema .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que tá representado pela matriz e pelo vetor . O assunto aqui é Eliminação de Gauss, que é um método usado para encontrar soluções de sistemas de equações de maneira organizada. Para resolver, vamos precisar fazer algumas operações nas linhas da matriz aumentada para simplificá-la até conseguir os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que combina a matriz dos coeficientes com o vetor . Ficaria assim:
Passo 3
O próximo passo é eliminar o termo abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o 1 que tá no topo). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os números abaixo dela na primeira coluna.
Para a segunda linha (), vamos somar a primeira linha a ela:
Para a terceira linha (), vamos subtrair duas vezes a primeira linha dela:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o termo abaixo do segundo elemento da segunda coluna (o 4 que tá na segunda linha). Para isso, vamos usar a segunda linha para zerar o valor abaixo dela na segunda coluna.
Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por para facilitar os cálculos:
Depois, vamos somar 2 vezes a nova segunda linha à terceira linha para eliminar o -2:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 5
Com a matriz agora na forma triangular superior, podemos resolver as equações de baixo para cima.
Começando pela terceira linha:
Passo 6
Agora, voltamos para a segunda linha para encontrar :