Sejam A=[ccc1 & 2 & 3 -1 & 2 & -3 2 & 2 & 2] e b=[l1 1 3]. Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(a) Resolva o sistema A X=b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que tá representado pela matriz e pelo vetor . O assunto aqui é Eliminação de Gauss, que é um método usado para encontrar soluções de sistemas de equações de maneira organizada. Para resolver, vamos precisar fazer algumas operações nas linhas da matriz aumentada para simplificá-la até conseguir os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que combina a matriz dos coeficientes [ccc|c 1 & 2 & 3 & 1 -1 & 2 & -3 & 1 2 & 2 & 2 & 3 ] com o vetor . Ficaria assim:

Passo 3

O próximo passo é eliminar o termo abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o 1 que tá no topo). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os números abaixo dela na primeira coluna.
  • Para a segunda linha ( R2: (-1 + 1) (2 + 2) (-3 + 3) (1 + 1) Rightarrow 0 4 0 2 ), vamos somar a primeira linha a ela:
    R3: (2 - 2 times 1) (2 - 2 times 2) (2 - 2 times 3) (3 - 2 times 1) Rightarrow 0 -2 -4 1
    [ccc|c 1 & 2 & 3 & 1 0 & 4 & 0 & 2 0 & -2 & -4 & 1 ]
  • Para a terceira linha ( ), vamos subtrair duas vezes a primeira linha dela:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o termo abaixo do segundo elemento da segunda coluna (o 4 que tá na segunda linha). Para isso, vamos usar a segunda linha para zerar o valor abaixo dela na segunda coluna.
Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por R2 = 14R2 Rightarrow 0 1 0 0.5 para facilitar os cálculos:
R3 = R3 + 2R2 Rightarrow 0 (-2 + 2 times 1) (-4 + 2 times 0) (1 + 2 times 0.5) Rightarrow 0 0 -4 2
Depois, vamos somar 2 vezes a nova segunda linha à terceira linha para eliminar o -2:
[ccc|c 1 & 2 & 3 & 1 0 & 1 & 0 & 0.5 0 & 0 & -4 & 2 ]
Agora, a matriz fica assim:

Passo 5

Com a matriz agora na forma triangular superior, podemos resolver as equações de baixo para cima.
Começando pela terceira linha:
-4z = 2 Rightarrow z = 2-4 = -0.5

Passo 6

Agora, voltamos para a segunda linha para encontrar y = 0.5 :

Passo 7

Por fim, usamos a primeira linha para encontrar x + 2y + 3z = 1 x + 2(0.5) + 3(-0.5) = 1 x + 1 - 1.5 = 1 x - 0.5 = 1 x = 1 + 0.5 x = 1.5 :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1.5 y = 0.5 z = -0.5

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