Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em ?
(B) (2 incognitas)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando: Em qual opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, ou seja, são retas no espaço tridimensional ? Estamos analisando a opção (B), que apresenta dois sistemas de equações:
  1. Um sistema em com duas incógnitas e :
  2. Um sistema em com três incógnitas , e :
Vamos precisar resolver cada sistema para verificar se as soluções formam retas, ou seja, se têm dimensão 1.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o primeiro sistema em :
Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Podemos dividir a primeira equação por 5 e a segunda por 4:
Observamos que as duas equações são idênticas! Isso significa que na verdade temos apenas uma equação com duas incógnitas. Nesse caso, há infinitas soluções, pois podemos escolher um valor para uma das variáveis e encontrar o outro correspondente. Geometricamente, isso representa uma reta no plano .

Passo 3

Agora, vamos resolver o segundo sistema em :
Primeiro, vamos tentar simplificar as equações. Observamos que a terceira equação pode ser dividida por 5:
Agora, vemos que a segunda e a terceira equações são iguais:
Isso significa que, na verdade, temos apenas duas equações distintas com três incógnitas. Vamos resolver essas duas equações para expressar duas variáveis em termos da terceira.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Portanto, temos:
Aqui, escolhemos como parâmetro livre. Isso significa que há infinitas soluções ao sistema, formando uma reta no espaço .

Passo 4

Resumindo:
  • Primeiro sistema (R²): Tem infinitas soluções que formam uma reta no plano.
  • Segundo sistema (R³): Tem infinitas soluções que formam uma reta no espaço tridimensional.
Ambos os sistemas têm conjuntos-solução de dimensão 1, ou seja, são retas em seus respectivos espaços.

Resposta

Na opção (B), os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, ou seja, são retas em .

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(F)
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