Defina a média u * v entre dois vetores u, v no espaço vetorial E pondo u * v=12 u+12 v. Prove que (u * v) * w=u *(v * w) se, e somente se, u=w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores e num espaço vetorial . A média deles é definida como . O que precisamos provar é que se, e somente se, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente operações com vetores e propriedades das médias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular u * v = 12u + 12v . Pela definição da média:
(u * v) * w = 12(u * v) + 12w = 12(12u + 12v) + 12w
Então,
= 14u + 14v + 12w
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular v * w = 12v + 12w :
u * (v * w) = 12u + 12(v * w) = 12u + 12(12v + 12w)
Então,
= 12u + 14v + 14w
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos que 14u + 14v + 12w = 12u + 14v + 14w . Então, igualando as duas expressões que obtivemos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação subtraindo 14u + 12w = 12u + 14w de ambos os lados:
12w = 14u + 14w
Agora, subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Subtraindo 12w - 14w = 14u de ambos os lados:
14w = 14u
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar as frações:
w = u

Resposta

Portanto, se, e somente se, .

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