Defina a média
entre dois vetores
no espaço vetorial E pondo
. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores
e
num espaço vetorial
. A média deles é definida como
. O que precisamos provar é que
se, e somente se,
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente operações com vetores e propriedades das médias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Pela definição da média:
Então,
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos que
. Então, igualando as duas expressões que obtivemos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação subtraindo
de ambos os lados:
Agora, subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar as frações:
Resposta
Portanto,
se, e somente se,
.