Defina a média entre dois vetores no espaço vetorial E pondo . Prove que se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores e num espaço vetorial . A média deles é definida como . O que precisamos provar é que se, e somente se, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente operações com vetores e propriedades das médias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Pela definição da média:
Então,
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Então,
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos que . Então, igualando as duas expressões que obtivemos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação subtraindo de ambos os lados:
Agora, subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar as frações:

Resposta

Portanto, se, e somente se, .

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Considere a matriz que representa uma transformação linear na base canônica de . Ao mudarmos para uma base que representa a mesma transformação por uma matriz diagonal, o determinante dessa nova matriz será:
a) 80
b) 15
c) 0
d) 5
Ache o valor de t que torna a matriz abaixo igual à matriz nula:
Aponte qual o item que expressa a derivada da função .
a)
b)
c)
d)
Sejam vetores nâo-nulos do espaço vetorial . Prove que é múltiplo de u se, e somente se, é múltiplo de v. Que se pode dizer caso nåo suponhamos u e ambos diferentes de zero?