Defina a média entre dois vetores no espaço vetorial E pondo . Prove que se, e somente se, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores e num espaço vetorial . A média deles é definida como . O que precisamos provar é que se, e somente se, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente operações com vetores e propriedades das médias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Pela definição da média:
Então,
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos que . Então, igualando as duas expressões que obtivemos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação subtraindo de ambos os lados:
Agora, subtraindo de ambos os lados:
Passo 6
Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar as frações: