Considere a matriz
. Calcule a matriz
, que comuta com
e com
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
e precisamos encontrar outra matriz
que comute com
. Isso significa que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e igualar os resultados para encontrar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar
por
. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Assim:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
:
Passo 4
Como
comuta com
, devemos ter
. Isso significa que cada elemento correspondente das duas matrizes resultantes deve ser igual. Vamos igualar cada posição:
-
Elemento (1,1):
-
Elemento (1,2):
-
Elemento (2,1):
-
Elemento (2,2):
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para encontrar
:
Passo 6
Agora, a segunda equação para encontrar
:
Passo 7
Por último, vamos verificar a terceira e quarta equações com os valores encontrados:
-
Terceira equação:
-
Quarta equação:
Todas as equações são satisfeitas com
e
.
Resposta
A matriz
que comuta com
e satisfaz
é: