Considere a matriz M=[ll1 & p 2 & 1]. Calcule a matriz N=[ni j]2 times 2, que comuta com M e com n11=n12=1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz 1 & p 2 & 1 e precisamos encontrar outra matriz 1 & 1 n21 & n22 que comute com . Isso significa que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e igualar os resultados para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar MN = 1 & p 2 & 1 1 & 1 n21 & n22 = 1 cdot 1 + p cdot n21 & 1 cdot 1 + p cdot n22 2 cdot 1 + 1 cdot n21 & 2 cdot 1 + 1 cdot n22 = 1 + p n21 & 1 + p n22 2 + n21 & 2 + n22 por . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Assim:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar NM = 1 & 1 n21 & n22 1 & p 2 & 1 = 1 cdot 1 + 1 cdot 2 & 1 cdot p + 1 cdot 1 n21 cdot 1 + n22 cdot 2 & n21 cdot p + n22 cdot 1 = 3 & p + 1 n21 + 2 n22 & p n21 + n22 por :

Passo 4

Como 1 + p n21 = 3 comuta com 1 + p n22 = p + 1 , devemos ter 2 + n21 = n21 + 2 n22 . Isso significa que cada elemento correspondente das duas matrizes resultantes deve ser igual. Vamos igualar cada posição:
  1. Elemento (1,1):
    2 + n22 = p n21 + n22
  2. Elemento (1,2):
  3. Elemento (2,1):
  4. Elemento (2,2):

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para encontrar 1 + p n21 = 3 p n21 = 2 n21 = 2p :

Passo 6

Agora, a segunda equação para encontrar 1 + p n22 = p + 1 p n22 = p n22 = 1 :

Passo 7

Por último, vamos verificar a terceira e quarta equações com os valores encontrados:
  • Terceira equação:
    2 + 2p = 2p + 2 cdot 1 2 + 2p = 2p + 2 (Verdadeiro)
  • Quarta equação:
    2 + 1 = p cdot 2p + 1 3 = 2 + 1 (Verdadeiro)
Todas as equações são satisfeitas com e .

Resposta

A matriz N = 1 & 1 dfrac2p & 1 que comuta com e satisfaz é:

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Seja A=[ccp & -1 1 & q]. Determine os valores p e q para os quais A tenha inversa.
Sejam A=(0,1,5), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine |\overrightarrow{A B}|.
Seja A=[ccp & -1 1 & q]. Considere p=q=0, resolva a equação matricial: X^T A+2 I2=3(A^T A^-2)^-1.