Considere a matriz . Calcule a matriz , que comuta com e com .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz e precisamos encontrar outra matriz que comute com . Isso significa que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e igualar os resultados para encontrar os valores de e .
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Assim:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar por :
Passo 4
Como comuta com , devemos ter . Isso significa que cada elemento correspondente das duas matrizes resultantes deve ser igual. Vamos igualar cada posição:
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para encontrar :
Passo 6
Agora, a segunda equação para encontrar :
Passo 7
Por último, vamos verificar a terceira e quarta equações com os valores encontrados: