Sejam A=(0,1,5), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine |\overrightarrow{A B}|.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos os pontos , e são pontos no espaço tridimensional . Nosso objetivo é determinar a norma do vetor , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar as coordenadas do ponto dado o ponto médio , e depois calcular a distância entre os pontos e usando a fórmula da distância no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto M = ( xA + xB2, yA + yB2, zA + zB2 ) . Sabemos que é o ponto médio entre e , então suas coordenadas são a média das coordenadas de e .
A fórmula do ponto médio em é:

Passo 3

Substituindo os valores que já conhecemos, temos:
(1, 2, 0) = ( 0 + xB2, 1 + yB2, 5 + zB2 )
Isso nos dá três equações que podemos resolver para encontrar , e .

Passo 4

Vamos resolver cada equação:
  1. Para a coordenada 1 = 0 + xB2 implies xB = 2 times 1 = 2 :
2 = 1 + yB2 implies 1 + yB = 4 implies yB = 3
  1. Para a coordenada 0 = 5 + zB2 implies 5 + zB = 0 implies zB = -5 :
  1. Para a coordenada :

Passo 5

Agora que temos as coordenadas de B = (2, 3, -5) :

Passo 6

Com os pontos AB = B - A = (2 - 0, 3 - 1, -5 - 5) = (2, 2, -10) e , podemos encontrar o vetor subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 7

Agora, para encontrar a norma de |AB| = raiz(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2 , que representa a distância entre os pontos |AB| = raiz(2)^2 + (2)^2 + (-10)^2 = raiz4 + 4 + 100 = raiz108 e , usamos a fórmula da distância no espaço tridimensional:
Substituindo os valores:

Resposta

A norma do vetor é , que pode ser simplificada para .

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