Seja A=[ccp & -1 1 & q]. Considere p=q=0, resolva a equação matricial: X^T A+2 I2=3(A^T A^-2)^-1.

Passo 1

Vamos resolver a equação matricial p & -1 1 & q onde e . Neste exercício, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como transposição de matrizes, inversão de matrizes e operações com matrizes quadradas. Precisaremos saber como calcular a transposta, a inversa de uma matriz e como realizar multiplicações e inversões de matrizes.

Passo 2

Primeiro, substituímos A = 0 & -1 1 & 0 e por 0 na matriz :
Isso simplifica a matriz para uma forma específica que facilita os cálculos subsequentes.

Passo 3

Calculamos a transposta de A^T = 0 & 1 -1 & 0 , denotada por . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas:

Passo 4

Calculamos a inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , denotada por det(A) = (0)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1 . Para uma matriz A^-1 = 0 & 1 -1 & 0 , a inversa é dada por:
onde . Calculando:
Então:

Passo 5

Calculamos A^-2 = (A^-1)^2 = A^-1 cdot A^-1 , que é a inversa de A^-2 = 0 & 1 -1 & 0 cdot 0 & 1 -1 & 0 = (-1) & 0 0 & (-1) = -I2 elevada ao quadrado:
Multiplicando por ele mesmo:
onde é a matriz identidade .

Passo 6

Calculamos A^T A^-2 = A^T cdot (-I2) = -A^T = 0 & -1 1 & 0 :

Passo 7

Calculamos a inversa de ( A^T A^-2 )^-1 = (-A^T)^-1 = -A^-T , que já sabemos ser ( A^T A^-2 )^-1 = -A :
Como é invertível e , temos:

Passo 8

Substituímos na equação original:
X^T A + 2 I2 = 3(-A)
Simplificando:
X^T A + 2 I2 = -3A

Passo 9

Isolamos X^T A = -3A - 2 I2 :

Passo 10

Multiplicamos ambos os lados pela inversa de X^T = (-3A - 2 I2) A^-1 para resolver para X^T = -3I2 - 2 A^-1 :
X^T = -3I2 - 2 0 & 1 -1 & 0 = -3 & -2 2 & -3
Calculando e :
Substituindo :

Passo 11

Finalmente, transpondo ambos os lados para encontrar X = -3 & 2 -2 & -3 :

Resposta

A solução da equação matricial é:
X = -3 & 2 -2 & -3

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