Considere a matriz
Cujo determinante é . Calcule o determinante da matriz:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas matrizes, e , e nos pede para calcular o determinante de sabendo que o determinante de é . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades dos determinantes e operações com linhas de matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número, e que algumas operações nas linhas da matriz afetam o determinante de maneiras específicas. Isso vai ser importante para a gente manipular a matriz e relacionar com o determinante de .

Passo 3

Observando a matriz , percebemos que suas linhas são combinações das linhas de :
Aqui, a primeira linha de é a soma da primeira e segunda linhas de , a segunda linha de é três vezes a terceira linha de , e a terceira linha de é igual à segunda linha de .

Passo 4

Vamos aplicar as propriedades dos determinantes:
  1. Adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante. Então, ao somar a segunda linha de à primeira para formar a primeira linha de , o determinante permanece o mesmo.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar. Ao multiplicar a terceira linha de por 3 para formar a segunda linha de , o determinante de será vezes o determinante da matriz resultante dessa operação.
  3. Trocar duas linhas na matriz multiplica o determinante por . Finalmente, ao trocar a segunda e a terceira linhas, o sinal do determinante é invertido.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  • Começamos com .
  • Adicionar a segunda linha à primeira não altera o determinante: .
  • Multiplicar a terceira linha por 3 multiplica o determinante por 3: .
  • Trocar a nova segunda linha com a terceira inverte o sinal: .

Resposta

O determinante da matriz é .

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Dadas as matrizes , e , calcule.
.
Supondo as matrizes e são quadradas de ordem e inversíveis, e a matriz identidade de ordem . Resolva as equações matriciais na variável .
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