Cujo determinante é . Calcule o determinante da matriz:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas matrizes, e , e nos pede para calcular o determinante de sabendo que o determinante de é . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente propriedades dos determinantes e operações com linhas de matrizes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número, e que algumas operações nas linhas da matriz afetam o determinante de maneiras específicas. Isso vai ser importante para a gente manipular a matriz e relacionar com o determinante de .
Passo 3
Observando a matriz , percebemos que suas linhas são combinações das linhas de :
Aqui, a primeira linha de é a soma da primeira e segunda linhas de , a segunda linha de é três vezes a terceira linha de , e a terceira linha de é igual à segunda linha de .
Passo 4
Vamos aplicar as propriedades dos determinantes:
Adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante. Então, ao somar a segunda linha de à primeira para formar a primeira linha de , o determinante permanece o mesmo.
Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar. Ao multiplicar a terceira linha de por 3 para formar a segunda linha de , o determinante de será vezes o determinante da matriz resultante dessa operação.
Trocar duas linhas na matriz multiplica o determinante por . Finalmente, ao trocar a segunda e a terceira linhas, o sinal do determinante é invertido.
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Começamos com .
Adicionar a segunda linha à primeira não altera o determinante: .
Multiplicar a terceira linha por 3 multiplica o determinante por 3: .
Trocar a nova segunda linha com a terceira inverte o sinal: .