Supondo as matrizes A, B, C e D são quadradas de ordem n e inversíveis, e In a matriz identidade de ordem n. Resolva as equações matriciais na variável X.
A^T cdot X^-1 cdot B^T=C;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação matricial onde A^T cdot X^-1 cdot B^T = C e são matrizes quadradas de ordem e todas são inversíveis. A equação dada é:
O objetivo é encontrar a matriz . Para isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Vamos isolar (A^T)^-1 cdot A^T cdot X^-1 cdot B^T = (A^T)^-1 cdot C na equação. Para isso, primeiro vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de In cdot X^-1 cdot B^T = (A^T)^-1 cdot C , que é X^-1 cdot B^T = (A^T)^-1 cdot C . Isso nos ajuda a eliminar do lado esquerdo.
Como (onde é a matriz identidade de ordem ), a equação simplifica para:
E como é a identidade, podemos remover ele da equação:

Passo 3

Agora, vamos continuar isolando X^-1 cdot B^T cdot (B^T)^-1 = (A^T)^-1 cdot C cdot (B^T)^-1 . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa de X^-1 cdot In = (A^T)^-1 cdot C cdot (B^T)^-1 , que é X^-1 = (A^T)^-1 cdot C cdot (B^T)^-1 :
Novamente, , então a equação fica:
E simplificando:

Passo 4

Agora que temos X = ( (A^T)^-1 cdot C cdot (B^T)^-1 )^-1 isolado, precisamos encontrar X = (B^T) cdot C^-1 cdot (A^T) . Para isso, basta inverter ambos os lados da equação:
Usando a propriedade de que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa, temos:

Resposta

A solução da equação matricial para X = B^T cdot C^-1 cdot A^T é:

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