Considere as matrizes
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente tem duas matrizes, e , e precisa calcular três determinantes diferentes: , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, transposição de matrizes, multiplicação de matrizes e matrizes inversas. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e aplicar algumas propriedades básicas deles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Mas antes, precisamos encontrar a matriz transposta de , ou seja, .
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, vamos transpor a matriz :
Transpondo, temos:
Agora, somamos e :
Agora, para encontrar o determinante dessa matriz, observamos que todas as colunas, exceto a primeira, são multiplicadas por zero, o que torna o cálculo do determinante bem simples. Na verdade, qualquer matriz que tenha uma coluna ou linha composta apenas por zeros terá determinante igual a zero.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Uma das propriedades importantes dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Em outras palavras:
Então, primeiro precisamos calcular e .
Observando as matrizes e , vemos que ambas são matrizes triangulares ( é triangular inferior e é triangular superior). O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Para a matriz :
Para a matriz :
Agora, aplicando a propriedade:

Passo 4

Por fim, vamos calcular . Para isso, vamos usar outra propriedade dos determinantes que envolve a matriz inversa:
Então, o determinante do produto será:
Já calculamos anteriormente que e . Substituindo:

Resposta

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Supondo as matrizes e são quadradas de ordem e inversíveis, e a matriz identidade de ordem . Resolva as equações matriciais na variável .
Supondo as matrizes e são quadradas de ordem e inversíveis, e a matriz identidade de ordem . Resolva as equações matriciais na variável .
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Considere a matriz
Cujo determinante é . Calcule o determinante da matriz:
Dadas as matrizes , e , calcule.
.