Considere a matriz . Determine os autovalores e autovetores normalizados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 e precisa encontrar os autovalores e os autovetores normalizados dela. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e como encontrá-los em uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Um autovalor de uma matriz é um número M v = lambda v tal que, ao multiplicar esse número pela identidade da matriz, a diferença entre a matriz original e essa multiplicação resulta em uma matriz que, quando aplicada a um vetor, apenas estica ou encolhe esse vetor, sem mudar sua direção.
Matematicamente, isso é representado por:
onde é o autovetor correspondente ao autovalor .
Passo 3
Como nossa matriz M = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 é uma matriz diagonal, os autovalores são simplesmente os elementos na diagonal. Isso porque, para uma matriz diagonal, cada entrada na diagonal já “isolada” age somente sobre seu próprio componente do vetor.
Então, olhando para a matriz:
os autovalores são , e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para uma matriz diagonal, os autovetores são bastante simples: eles são os vetores padrão, ou seja, os vetores que têm 1 em uma posição e 0 nas demais.
Para cada autovalor vi = 0 vdots 1 vdots 0 , o autovetor é:
onde o 1 está na posição correspondente ao .
Passo 5
Como a gente precisa dos autovetores normalizados, é bom verificar se esses vetores já estão com norma 1. Um vetor está normalizado se a soma dos quadrados de seus componentes for igual a 1.
Vamos checar:
|v1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
|v2| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
|v3| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
Viu só? Todos os autovetores já estão normalizados.
Resposta
Os autovalores da matriz v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0, v3 = 0 0 1 são , e .