Resolva os sistemas de equações lineares abaixo, usando a Regra de Cramer:
lx+y+z=1 x+2 y+4 z=4 x+3 y+9 z=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. O que a gente tem aqui são três equações com três incógnitas: , e . A Regra de Cramer vai nos ajudar a encontrar o valor de cada incógnita usando determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante nos diz se o sistema tem solução única (determinante diferente de zero) ou não. A fórmula para calcular o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(A) = 1(2 cdot 9 - 4 cdot 3) - 1(1 cdot 9 - 4 cdot 1) + 1(1 cdot 3 - 2 cdot 1) = 1(18 - 12) - 1(9 - 4) + 1(3 - 2) = 6 - 5 + 1 = 2
Aplicando os valores da matriz :
Como , o sistema tem solução única.

Passo 4

Para encontrar Ax = 1 & 1 & 1 4 & 2 & 4 9 & 3 & 9 , Ay = 1 & 1 & 1 1 & 4 & 4 1 & 9 & 9 , Az = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 1 & 3 & 9 , e usando a Regra de Cramer, vamos substituir cada coluna da matriz pela coluna dos termos constantes (direita das equações) e calcular os determinantes dessas novas matrizes.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(Ax) = 1(2 cdot 9 - 4 cdot 3) - 1(4 cdot 9 - 4 cdot 1) + 1(4 cdot 3 - 2 cdot 9) = 1(18 - 12) - 1(36 - 4) + 1(12 - 18) = 6 - 32 - 6 = -32 :

Passo 6

Agora, calculamos o determinante de det(Ay) = 1(4 cdot 9 - 4 cdot 9) - 1(1 cdot 9 - 4 cdot 1) + 1(1 cdot 9 - 4 cdot 1) = 1(36 - 36) - 1(9 - 4) + 1(9 - 4) = 0 - 5 + 5 = 0 :

Passo 7

Por último, calculamos o determinante de det(Az) = 1(2 cdot 9 - 4 cdot 3) - 1(1 cdot 9 - 4 cdot 1) + 1(1 cdot 3 - 2 cdot 1) = 1(18 - 12) - 1(9 - 4) + 1(3 - 2) = 6 - 5 + 1 = 2 :

Passo 8

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar cada incógnita:
x = det(Ax)det(A) = -322 = -16
y = det(Ay)det(A) = 02 = 0
z = det(Az)det(A) = 22 = 1

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -16, y = 0, z = 1

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