Dada a matriz I=(lll1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1), calcule os autovalores e autovetores normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz quadrada I de ordem 3, onde todos os elementos são 1. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e os autovetores normalizados dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz, resolvemos a equação característica:
det(I - lambda Id) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores e Id é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 3

Vamos montar a matriz I - lambda Id:
I - lambda Id = 1 - lambda & 1 & 1 1 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(I - lambda Id) = 1 - lambda & 1 & 1 1 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 - lambda
Expandindo o determinante:
(1 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1] - 1[1(1 - lambda) - 1 cdot 1] + 1[1 cdot 1 - (1 - lambda) cdot 1]
Simplificando:
(1 - lambda)[(1 - lambda)^2 - 1] - 1[(1 - lambda) - 1] + 1[1 - (1 - lambda)]
(1 - lambda)[1 - 2lambda + lambda^2 - 1] - 1(-lambda) + 1(lambda)
(1 - lambda)(-2lambda + lambda^2) + lambda + lambda
-2lambda(1 - lambda) + lambda^2(1 - lambda) + 2lambda
-2lambda + 2lambda^2 + lambda^2 - lambda^3 + 2lambda
3lambda^2 - lambda^3
Factorizando:
lambda^2(3 - lambda) = 0

Passo 5

Resolvendo lambda^2(3 - lambda) = 0, encontramos os autovalores:
  1. lambda = 0 (com multiplicidade 2)
  2. lambda = 3

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para lambda = 3:
Resolvemos (I - 3Id)v = 0:

$$
-2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0
-2v1 + v2 + v3 = 0

v1 - 2v2 + v3 = 0
$$
Isso resulta nas equações:
  • v1 + v2 - 2v3 = 0
  • v1 = v2 = v3
  • v = (1, 1, 1)
Resolvendo, vemos que lambda = 0. Então, um autovetor é Iv = 0v.
Para 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v1 + v2 + v3 = 0, ou seja:

$$
v1 = (1, -1, 0)
v2 = (1, 1, -2)

$$
Isso implica que . Podemos escolher, por exemplo:

Passo 7

Agora, vamos normalizar os autovetores, ou seja, ajustar para que tenham módulo 1.
Para lambda = 3, v = (1, 1, 1):
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Autovetor normalizado:
u = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)
Para lambda = 0, v1 = (1, -1, 0):
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
Autovetor normalizado:
u1 = (1raiz2, -1raiz2, 0)
Para lambda = 0, v2 = (1, 1, -2):
|v2| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6
Autovetor normalizado:
u2 = (1raiz6, 1raiz6, -2raiz6)

Resposta

Os autovalores da matriz I são lambda = 3 e lambda = 0 (com multiplicidade 2). Os autovetores normalizados são:
  • Para lambda = 3:
    u = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)
  • Para lambda = 0:
    u1 = (1raiz2, -1raiz2, 0)
    u2 = (1raiz6, 1raiz6, -2raiz6)

Exercícios relacionados