Use a série de Taylor centrada em x=0 para descrever a função: f(x)=ln (3+4 x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar a série de Taylor centrada em para descrever a função . Isso envolve entender o que é uma série de Taylor e como aplicá-la a funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = ln(3(1 + 4x3)) de uma maneira que facilite a aplicação da série de Taylor. Podemos fatorar o 3 dentro do logaritmo:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que f(x) = ln 3 + ln(1 + 4x3) , temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a série de Taylor para ln(1 + y) = y - y^22 + y^33 - y^44 + cdots , que é válida quando :
Aqui, .

Passo 5

Substituindo ln(1 + 4x3) = 4x3 - (4x3)^22 + (4x3)^33 - (4x3)^44 + cdots na série, temos:

Passo 6

Simplificando os termos, obtemos:
ln(1 + 4x3) = 4x3 - 16x^218 + 64x^381 - 256x^4324 + cdots
Então, juntando com f(x) = ln 3 + 4x3 - 16x^218 + 64x^381 - 256x^4324 + cdots :

Resposta

A série de Taylor centrada em ln(3 + 4x) = ln 3 + 4x3 - 16x^218 + 64x^381 - 256x^4324 + cdots para a função é:

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