Considere uma matriz B de ordem 6 obtida através de uma matriz A pelas seguintes operações sobre linhas:
(i) L1 rightarrow L5;
(ii) L2 rightarrow L6;
(iii) L3=-13 L3;
(iv) L4=L4-2 L3
Se det(B)=12 então qual o det(A) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, A e B, onde a B foi obtida a partir da A através de algumas operações nas linhas. A gente precisa descobrir qual é o determinante da matriz A, sabendo que o determinante da matriz B é 12. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e operações em linhas de matrizes. Vamos precisar entender como cada operação nas linhas afeta o determinante.

Passo 2

Primeiro, lembra que trocando duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal. Ou seja, cada troca de linhas multiplica o determinante por -1. No nosso caso, temos duas trocas:
  1. Trocar a linha 1 com a linha 5.
  2. Trocar a linha 2 com a linha 6.
Cada uma dessas trocas vai multiplicar o determinante por -1. Então, duas trocas vão multiplicar o determinante original (det(A)) por (-1)², que é +1. Isso significa que até aqui, o determinante não mudou de valor, apenas o sinal foi invertido duas vezes, voltando ao positivo.

Passo 3

Agora, vamos para a terceira operação: multiplicar a linha 3 por -1/3. Quando a gente multiplica uma linha inteira por um número, o determinante também é multiplicado por esse número. Nesse caso, o determinante é multiplicado por -1/3.
Então, até agora, o determinante passou por dois efeitos:
  • Trocas de linhas: não alteraram o valor final porque (-1)² = 1.
  • Multiplicação da linha 3 por -1/3: o determinante agora é det(A) * (-1/3).

Passo 4

A última operação é: substituir a linha 4 por ela mesma menos 2 vezes a linha 3 (L₄ = L₄ - 2L₃). Esse tipo de operação é chamada de combinação linear de linhas. A boa notícia é que adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha para outra não altera o determinante da matriz.
Então, essa operação não muda o valor do determinante. Portanto, até aqui, o único efeito sobre o determinante foi a multiplicação por -1/3.

Passo 5

Agora, sabemos que após todas essas operações, a matriz B tem um determinante de 12. Então, podemos relacionar os determinantes das matrizes A e B assim:
det(B) = det(A) * (-1/3)
Queremos encontrar det(A). Então, fazemos a equação:
det(A) = det(B) / (-1/3)
det(A) = 12 / (-1/3)
det(A) = 12 * (-3)

Resposta

O determinante de A é igual a -36.

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