Seja uma matriz
de ordem 5, cujo determinante é 12. Considere a matriz
obtida através de
pelas seguintes operações sobre as linhas:
(i)
;
(ii)
;
(iii)
;
(iv)
Podemos concluir que
?
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Podemos concluir que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
de ordem 5 com determinante igual a 12. A matriz
é obtida a partir de
realizando uma série de operações nas linhas de
. Nosso objetivo é descobrir se o determinante de
é igual a 4. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada operação nas linhas afeta o determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, analisamos a operação (i): trocar a linha 1 com a linha 5, ou seja,
. Sabemos que trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por
. Então, após essa troca, o determinante se torna:
Passo 3
Em seguida, a operação (ii): trocar a linha 2 com a linha 4,
. Novamente, trocar duas linhas multiplica o determinante por
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, a operação (iii): multiplicar a linha 3 por
, ou seja,
. Multiplicar uma linha por um escalar
multiplica o determinante por
. Portanto:
Passo 5
Por fim, a operação (iv): substituir a linha 4 por
, ou seja,
. Essa operação é uma combinação linear de linhas e, importante, não altera o determinante da matriz. Portanto, após essa operação:
Resposta
Sim,
.