Seja uma matriz A de ordem 5, cujo determinante é 12. Considere a matriz B obtida através de A pelas seguintes operações sobre as linhas:
(i) L1 rightarrow L5;
(ii) L2 rightarrow L4;
(iii) L3=13 L3;
(iv) L4=L4-2 L3
Podemos concluir que det(B)=4 ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz A de ordem 5 com determinante igual a 12. A matriz B é obtida a partir de A realizando uma série de operações nas linhas de A. Nosso objetivo é descobrir se o determinante de B é igual a 4. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada operação nas linhas afeta o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, analisamos a operação (i): trocar a linha 1 com a linha 5, ou seja, L1 rightarrow L5. Sabemos que trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1. Então, após essa troca, o determinante se torna:
det(A') = -det(A) = -12

Passo 3

Em seguida, a operação (ii): trocar a linha 2 com a linha 4, L2 rightarrow L4. Novamente, trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Aplicando isso:
det(A'') = -det(A') = -(-12) = 12

Passo 4

Agora, a operação (iii): multiplicar a linha 3 por 13, ou seja, L3 = 13 L3. Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. Portanto:
det(A''') = 13 times det(A'') = 13 times 12 = 4

Passo 5

Por fim, a operação (iv): substituir a linha 4 por L4 - 2L3, ou seja, L4 = L4 - 2L3. Essa operação é uma combinação linear de linhas e, importante, não altera o determinante da matriz. Portanto, após essa operação:
det(B) = det(A''') = 4

Resposta

Sim, det(B) = 4.

Exercícios relacionados