Considere a matriz quadrada . Determine os valores de x, y e z para os quais A seja simétrica, ou seja, A^T=A.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes simétricas! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 3 onde alguns elementos dependem das incógnitas , e . Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que fazem com que seja simétrica, ou seja, que a matriz seja igual à sua transposta .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz é simétrica se, para todo e , o elemento na posição é igual ao elemento na posição . Ou seja, .
Passo 3
Vamos escrever a matriz A = 30 & x + y & 12z 12x - y & 20 & 2x - y 6z & -3 - x + y & 10 e sua transposta A^T = 30 & 12x - y & 6z x + y & 20 & -3 - x + y 12z & 2x - y & 10 :
Passo 4
Agora, vamos igualar os elementos correspondentes de x + y = 12x - y e 12z = 6z :
2x - y = -3 - x + y :
:
:
Passo 5
Vamos resolver cada equação uma por uma.
Equação 1:
x + y = 12x - y x + y - 12x + y = 0 -11x + 2y = 0 11x = 2y y = 112x
Equação 2:
12z = 6z 12z - 6z = 0 6z = 0 z = 0
Equação 3:
2x - y = -3 - x + y 2x - y + x - y = -3 3x - 2y = -3
Passo 6
Agora, sabemos que 3x - 2(112x) = -3 3x - 11x = -3 -8x = -3 x = 38 e y = 112 times 38 = 3316 . Vamos substituir na terceira equação:
Agora, substituímos em :
Resposta
Os valores que fazem a matriz x = 38, y = 3316, e z = 0 ser simétrica são: