? Por quê?

Passo 1

Primeiro, vamos entender a pergunta: Queremos saber se o conjunto de vetores gera todo o espaço tridimensional . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e independência linear na álgebra linear. Para resolver, precisaremos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram .

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa que vetores geram . Um conjunto de vetores gera se qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer vetor , existe escalares tais que:

Passo 3

Para garantir que os vetores gerem , eles também precisam ser linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação:
é .

Passo 4

Uma maneira de verificar a independência linear é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .
Vamos supor que:
Calcularíamos:

Passo 5

Se , isso confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram . Caso contrário, se o determinante for zero, significa que os vetores são linearmente dependentes e não conseguem gerar todo o espaço tridimensional.

Resposta

Sim, os vetores geram porque, ao verificar a matriz formada por eles, o determinante é diferente de zero, indicando que são linearmente independentes e, portanto, conseguem gerar todo o espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Considere a matriz quadrada . Determine os valores de e para os quais seja simétrica, ou seja, .
Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que:
Marque todas as opções para as coordenadas polares do ponto em que suas coordenadas cartesianas são .
(ENADE 2017) A solução de um sistema linear de três equações e três incógnitas pode ser interpretada geometricamente como a interseção de três planos no espaço e consiste em verificar se os três planos tem um único ponto, infinitos pontos ou nenhum ponto em comum, para determinar se o sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o sistema linear
tem solução
a) o ponto .
b) o plano que passa pelo ponto e possui como vetor diretor o vetor . c) a reta que passa pelo ponto e que possui como vetor diretor o vetor .
d) a reta que passa pelo ponto e que possui como vetor diretor o vetor .
e) o conjunto vazio.