[nu1, nu2, v3]=R^3 ? Por quê?

Passo 1

Primeiro, vamos entender a pergunta: Queremos saber se o conjunto de vetores gera todo o espaço tridimensional . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e independência linear na álgebra linear. Para resolver, precisaremos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram .

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa que vetores geram a1 nu1 + a2 nu2 + a3 v3 = b . Um conjunto de vetores gera se qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer vetor , existe escalares tais que:

Passo 3

Para garantir que os vetores a1 nu1 + a2 nu2 + a3 v3 = 0 gerem , eles também precisam ser linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação:
é .

Passo 4

Uma maneira de verificar a independência linear é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram M = nu1 & nu2 & v3 .
Vamos supor que:
det(M)
Calcularíamos:

Passo 5

Se , isso confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram . Caso contrário, se o determinante for zero, significa que os vetores são linearmente dependentes e não conseguem gerar todo o espaço tridimensional.

Resposta

Sim, os vetores geram porque, ao verificar a matriz formada por eles, o determinante é diferente de zero, indicando que são linearmente independentes e, portanto, conseguem gerar todo o espaço tridimensional.

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