Primeiro, vamos entender a pergunta: Queremos saber se o conjunto de vetores gera todo o espaço tridimensional . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e independência linear na álgebra linear. Para resolver, precisaremos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se geram.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que significa que vetores geram . Um conjunto de vetores gera se qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer vetor , existe escalares tais que:
Passo 3
Para garantir que os vetores gerem , eles também precisam ser linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação:
é .
Passo 4
Uma maneira de verificar a independência linear é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .
Vamos supor que:
Calcularíamos:
Passo 5
Se , isso confirma que os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram . Caso contrário, se o determinante for zero, significa que os vetores são linearmente dependentes e não conseguem gerar todo o espaço tridimensional.
Resposta
Sim, os vetores geram porque, ao verificar a matriz formada por eles, o determinante é diferente de zero, indicando que são linearmente independentes e, portanto, conseguem gerar todo o espaço tridimensional.