(ENADE 2014) As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações com matrizes. Uma rotação de alpha graus de um ponto (x, y), no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela multiplicação da matriz M2 times 2 dada por [cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha] pela matriz M2 times 1, sendo x a primeira linha e y a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do (x, y) após a rotação. Nessa situação, qual é a nova posição do vetor (3,-1) após uma rotação de 150^circ no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Justifique sua resposta!
a) (1-3 raiz32, 3+raiz32)
b) (-3+raiz32, 1+3 raiz32)
c) (1+3 raiz32, 3-raiz32)
d) (-1-3 raiz32, -3+raiz32)
e) (3+raiz32, -1+3 raiz32)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre rotação de pontos no plano usando matrizes. A gente vai precisar usar o conceito de matriz de rotação, que ajuda a girar um ponto em torno da origem por um certo ângulo. No caso, queremos rotacionar o ponto (3, -1) em 150^circ no sentido anti-horário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a matriz de rotação. Quando a gente quer girar um ponto (x, y) por um ângulo alpha, a matriz que a gente usa é:
M = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha

Passo 3

Agora, vamos substituir o ângulo alpha por 150^circ. Então, temos:
cos 150^circ = -raiz32 e sin 150^circ = 12
Portanto, a matriz de rotação fica:
M = -raiz32 & -12 12 & -raiz32

Passo 4

Agora, vamos representar o ponto (3, -1) como uma matriz coluna:
P = 3 -1

Passo 5

Para encontrar a nova posição do ponto após a rotação, fazemos a multiplicação da matriz de rotação pela matriz do ponto:
M cdot P = -raiz32 & -12 12 & -raiz32 cdot 3 -1

Passo 6

Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Para a primeira linha:
(-raiz32 times 3) + (-12 times -1) = -3raiz32 + 12 = 1 - 3raiz32
Para a segunda linha:
(12 times 3) + (-raiz32 times -1) = 32 + raiz32 = 3 + raiz32

Resposta

A nova posição do vetor (3, -1) após a rotação é (1 - 3 raiz32, 3 + raiz32).

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