(ENADE 2014) As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações com matrizes. Uma rotação de
graus de um ponto
, no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela multiplicação da matriz
dada por
pela matriz
, sendo
a primeira linha e
a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do
após a rotação. Nessa situação, qual é a nova posição do vetor
após uma rotação de
no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Justifique sua resposta!
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre rotação de pontos no plano usando matrizes. A gente vai precisar usar o conceito de matriz de rotação, que ajuda a girar um ponto em torno da origem por um certo ângulo. No caso, queremos rotacionar o ponto
em
no sentido anti-horário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a matriz de rotação. Quando a gente quer girar um ponto
por um ângulo
, a matriz que a gente usa é:
Passo 3
Agora, vamos substituir o ângulo
por
. Então, temos:
Portanto, a matriz de rotação fica:
Passo 4
Agora, vamos representar o ponto
como uma matriz coluna:
Passo 5
Para encontrar a nova posição do ponto após a rotação, fazemos a multiplicação da matriz de rotação pela matriz do ponto:
Passo 6
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Resposta
A nova posição do vetor
após a rotação é
.