Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que:
alpha(-v)=-(alpha v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que alpha(-v) = -(alpha v). Isso está ligado às propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares. Para resolver, vamos usar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Se você tem um vetor v e um número real alpha, então alpha v é o vetor v esticado (se alpha > 1) ou encolhido (se 0 < alpha < 1), e invertido de direção se alpha for negativo.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é -v. Isso simplesmente inverte a direção do vetor v. Se v aponta para cima, -v aponta para baixo, mantendo o mesmo tamanho.

Passo 4

Vamos multiplicar o escalar alpha por -v:
alpha(-v)
Pela propriedade da multiplicação por escalares, isso é igual a:
alpha(-1 cdot v) = alpha cdot (-1) cdot v

Passo 5

Sabemos que alpha cdot (-1) = -alpha. Então substituindo na expressão:
alpha cdot (-1) cdot v = -alpha v

Passo 6

Agora, vamos ver o lado direito da equação que queremos provar:
-(alpha v)
Isso significa inverter a direção de alpha v, o que é o mesmo que multiplicar alpha v por -1:
-1 cdot (alpha v) = -alpha v

Resposta

Portanto, mostramos que:
alpha(-v) = -(alpha v)

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