Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que . Isso está ligado às propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares. Para resolver, vamos usar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Se você tem um vetor e um número real , então é o vetor esticado (se ) ou encolhido (se ), e invertido de direção se for negativo.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . Isso simplesmente inverte a direção do vetor . Se aponta para cima, aponta para baixo, mantendo o mesmo tamanho.

Passo 4

Vamos multiplicar o escalar por :
Pela propriedade da multiplicação por escalares, isso é igual a:

Passo 5

Sabemos que . Então substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, vamos ver o lado direito da equação que queremos provar:
Isso significa inverter a direção de , o que é o mesmo que multiplicar por :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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(ENADE 2014) As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados de pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistema cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações com matrizes. Uma rotação de graus de um ponto , no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela multiplicação da matriz dada por pela matriz , sendo a primeira linha e a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do após a rotação. Nessa situação, qual é a nova posição do vetor após uma rotação de no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Justifique sua resposta!
a)
b)
c)
d)
e)
Se é uma matriz quadrada de ordem , tal que para algum inteiro . Mostre que é inversível. Qual a inversa de ?
Considere a matriz quadrada . Determine os valores de e para os quais seja simétrica, ou seja, .
? Por quê?