Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial e um subconjunto de . Verifique se é um subespaço vetorial de .
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial com as operações normais de soma e multiplicação por escalar. Temos que analisar o subconjunto e verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e os critérios que devemos verificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser um subespaço vetorial de , ele precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele por um escalar também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Observando , temos que , que é um número racional (). Portanto, . Essa condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em : e , onde . A soma desses vetores é .
Precisamos verificar se é também um número racional. Como a soma de dois números racionais é racional, temos . Logo, . Essa condição está satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em : com , e um escalar . A multiplicação por escalar dá .
Precisamos verificar se é racional. Aqui temos um problema: se for um número irracional e for um número racional diferente de zero, então será irracional. Por exemplo, se e , então que não é racional.
Isso significa que pode não pertencer a , já que pode não ser racional.
Resposta
Como não é fechado sob multiplicação por escalar (já que pode ser irracional), não é um subespaço vetorial de .