Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
(e) V=(R^2,+, cdot) ; W=(x, y) in R^2 / y in Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial com as operações normais de soma e multiplicação por escalar. Temos que analisar o subconjunto e verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e os critérios que devemos verificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para ser um subespaço vetorial de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele por um escalar também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Observando , temos que , que é um número racional ( ). Portanto, . Essa condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em : e , onde . A soma desses vetores é .
Precisamos verificar se é também um número racional. Como a soma de dois números racionais é racional, temos . Logo, . Essa condição está satisfeita.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em : com , e um escalar . A multiplicação por escalar dá .
Precisamos verificar se é racional. Aqui temos um problema: se for um número irracional e for um número racional diferente de zero, então será irracional. Por exemplo, se e , então que não é racional.
Isso significa que pode não pertencer a , já que pode não ser racional.

Resposta

Como não é fechado sob multiplicação por escalar (já que pode ser irracional), não é um subespaço vetorial de .

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