Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial
com as operações normais de soma e multiplicação por escalar. Temos que analisar o subconjunto
e verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e os critérios que devemos verificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para
ser um subespaço vetorial de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo dele por um escalar também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Observando
, temos que
, que é um número racional (
). Portanto,
. Essa condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
e
, onde
. A soma desses vetores é
.
Precisamos verificar se
é também um número racional. Como a soma de dois números racionais é racional, temos
. Logo,
. Essa condição está satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
com
, e um escalar
. A multiplicação por escalar dá
.
Precisamos verificar se
é racional. Aqui temos um problema: se
for um número irracional e
for um número racional diferente de zero, então
será irracional. Por exemplo, se
e
, então
que não é racional.
Isso significa que
pode não pertencer a
, já que
pode não ser racional.
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação por escalar (já que
pode ser irracional),
não é um subespaço vetorial de
.