(4) Considere a matriz real A=[rrr1 & -1 & 1 2 & 0 & 1 3 & 0 & 1]. Ache as matrizes elementares E1, E2, ldots, Es tais que I=Es ldots E2 E1 A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar umas matrizes chamadas matrizes elementares que, quando multiplicadas pela matriz , vão dar a matriz identidade . Isso está relacionado a operações elementares de linha e inversão de matrizes. Vamos precisar saber como aplicar essas operações passo a passo para transformar em .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & -1 & 1 2 & 0 & 1 3 & 0 & 1 que a gente tem:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em usando operações elementares de linha. Cada operação que a gente fizer vai corresponder a uma matriz elemental .

Passo 3

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 da primeira coluna. Para isso, vamos fazer duas operações:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  2. Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
A primeira operação fica assim:
R2 = R2 - 2R1
E a segunda operação:
R3 = R3 - 3R1

Passo 4

Vamos aplicar essas operações na matriz 1 & -1 & 1 0 & 2 & -1 3 & 0 & 1 :
Depois da primeira operação 1 & -1 & 1 0 & 2 & -1 0 & 3 & -2 :
Depois da segunda operação :
Cada uma dessas operações corresponde a uma matriz elemental. Vamos chamar a primeira de e a segunda de .

Passo 5

Agora, queremos tornar o elemento R2 = 12R2 igual a 1. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por 1 & -1 & 1 0 & 1 & -12 0 & 3 & -2 :
Isso nos dá:
Essa operação corresponde à matriz elemental .

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar o 3 que está abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso, vamos subtrair 3 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 3R2
Aplicando isso:
1 & -1 & 1 0 & 1 & -12 0 & 0 & -12
Essa é a matriz elemental .

Passo 7

Agora, vamos tornar o elemento R3 = -2R3 igual a 1, multiplicando a terceira linha por 1 & -1 & 1 0 & 1 & -12 0 & 0 & 1 :
Ficamos com:
Essa operação corresponde à matriz elemental .

Passo 8

Finalmente, vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, subtraímos a terceira linha da primeira linha:
R1 = R1 - R3
E depois adicionamos R2 = R2 + 12R3 da terceira linha à segunda linha:
1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Após essas operações, temos:
R1 = R1 + R2
Por último, adicionamos a segunda linha à primeira linha para eliminar o I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
E assim, chegamos na matriz identidade :
As operações realizadas correspondem às matrizes elementares e .

Resposta

As matrizes elementares que satisfazem E1 = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 -3 & 0 & 1 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -3 & 1 , são:
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 1 , E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -3 & 1 ,
E5 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 , E6 = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
E7 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 12 0 & 0 & 1 , E8 = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Assim, multiplicando essas matrizes na ordem por , a gente chega na matriz identidade .

Exercícios relacionados