(4) Considere a matriz real . Ache as matrizes elementares tais que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar umas matrizes chamadas matrizes elementares que, quando multiplicadas pela matriz , vão dar a matriz identidade . Isso está relacionado a operações elementares de linha e inversão de matrizes. Vamos precisar saber como aplicar essas operações passo a passo para transformar em .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente tem:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em usando operações elementares de linha. Cada operação que a gente fizer vai corresponder a uma matriz elemental .
Passo 3
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro 1 da primeira coluna. Para isso, vamos fazer duas operações:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
A primeira operação fica assim:
E a segunda operação:
Passo 4
Vamos aplicar essas operações na matriz :
Depois da primeira operação :
Depois da segunda operação :
Cada uma dessas operações corresponde a uma matriz elemental. Vamos chamar a primeira de e a segunda de .
Passo 5
Agora, queremos tornar o elemento igual a 1. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por :
Isso nos dá:
Essa operação corresponde à matriz elemental .
Passo 6
Em seguida, vamos eliminar o 3 que está abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso, vamos subtrair 3 vezes a segunda linha da terceira linha:
Aplicando isso:
Essa é a matriz elemental .
Passo 7
Agora, vamos tornar o elemento igual a 1, multiplicando a terceira linha por :
Ficamos com:
Essa operação corresponde à matriz elemental .
Passo 8
Finalmente, vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, subtraímos a terceira linha da primeira linha:
E depois adicionamos da terceira linha à segunda linha:
Após essas operações, temos:
Por último, adicionamos a segunda linha à primeira linha para eliminar o :
E assim, chegamos na matriz identidade :
As operações realizadas correspondem às matrizes elementares e .
Resposta
As matrizes elementares que satisfazem são:
Assim, multiplicando essas matrizes na ordem por , a gente chega na matriz identidade .