Determinar o valor de k para que o sistema
lx+2 y+k z=1 2 x+k y+8 z=3
tenha:
solução única

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de duas equações com três variáveis ( x, y, z):
x + 2y + kz = 1 2x + ky + 8z = 3
Queremos encontrar o valor de k que faz com que esse sistema tenha solução única. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Como temos duas equações e três variáveis, normalmente o sistema seria indeterminado, ou seja, teria infinitas soluções. Mas queremos um caso especial onde há uma única solução. Isso só é possível se conseguirmos eliminar uma das variáveis de maneira que as duas equações se tornem dependentes de forma específica.

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos, por exemplo, eliminar a variável x.
Primeiro, da primeira equação:
x = 1 - 2y - kz (Equação 1 rearranjada) çã
Agora, substituímos esse valor de x na segunda equação:
2(1 - 2y - kz) + ky + 8z = 3
Vamos simplificar isso:
2 - 4y - 2kz + ky + 8z = 3
Agrupando termos semelhantes:
(-4y + ky) + (-2kz + 8z) + 2 = 3
Fatorando:
y(-4 + k) + z(-2k + 8) + 2 = 3
Subtraindo 2 de ambos os lados:
y(-4 + k) + z(-2k + 8) = 1

Passo 4

Para que haja uma solução única, precisamos que as duas variáveis restantes ( y e z) sejam determinadas de forma única. Isso significa que os coeficientes das variáveis devem não tornar as equações dependentes.
Vamos analisar os coeficientes:
  • Para y: -4 + k
  • Para z: -2k + 8
Queremos que o sistema resultante não seja dependente, ou seja, que a única solução possível seja uma única combinação de y e z que satisfaça ambas as equações.
Para isso, devemos garantir que o determinante da matriz dos coeficientes não seja zero. No caso, temos apenas uma equação após a substituição, então precisamos que os coeficientes permitan uma solução única.

Passo 5

Vamos considerar a equação resultante:
(-4 + k)y + (-2k + 8)z = 1
Para que haja uma solução única, os coeficientes de y e z não podem ser proporcionais a zero ao mesmo tempo, ou seja, não queremos que:
-4 + k = 0 e -2k + 8 = 0
Vamos resolver essas equações:
  1. -4 + k = 0 Rightarrow k = 4
  2. -2k + 8 = 0 Rightarrow -2k = -8 Rightarrow k = 4
Ambas as equações resultam em k = 4. Isso significa que, se k = 4, os coeficientes das variáveis seriam zero, tornando a equação inválida para uma solução única.
Portanto, para que exista uma solução única, k não deve ser igual a 4.

Resposta

O valor de k deve ser diferente de 4 para que o sistema tenha solução única.

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