Determinar o valor de para que o sistema
tenha:
solução única
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de duas equações com três variáveis (, , ):
Queremos encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha solução única. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Como temos duas equações e três variáveis, normalmente o sistema seria indeterminado, ou seja, teria infinitas soluções. Mas queremos um caso especial onde há uma única solução. Isso só é possível se conseguirmos eliminar uma das variáveis de maneira que as duas equações se tornem dependentes de forma específica.
Passo 3
Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos, por exemplo, eliminar a variável .
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Vamos simplificar isso:
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 4
Para que haja uma solução única, precisamos que as duas variáveis restantes ( e ) sejam determinadas de forma única. Isso significa que os coeficientes das variáveis devem não tornar as equações dependentes.
Vamos analisar os coeficientes:
Para :
Para :
Queremos que o sistema resultante não seja dependente, ou seja, que a única solução possível seja uma única combinação de e que satisfaça ambas as equações.
Para isso, devemos garantir que o determinante da matriz dos coeficientes não seja zero. No caso, temos apenas uma equação após a substituição, então precisamos que os coeficientes permitan uma solução única.
Passo 5
Vamos considerar a equação resultante:
Para que haja uma solução única, os coeficientes de e não podem ser proporcionais a zero ao mesmo tempo, ou seja, não queremos que:
Vamos resolver essas equações:
Ambas as equações resultam em . Isso significa que, se , os coeficientes das variáveis seriam zero, tornando a equação inválida para uma solução única.
Portanto, para que exista uma solução única, não deve ser igual a 4.
Resposta
O valor de deve ser diferente de 4 para que o sistema tenha solução única.